2023年九年级数学中考复习最值问题：阿氏圆模型讲义

最值问题：阿氏圆模 一、模型引入 “PA+k•PB”型最值问题是中考考察的难点，当k=1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，可以利用我们常见的“将军饮马”模型来处理。当k取任意不为1的正数时，需要转换解题思路，此类问题根据动点运动的轨迹不同可以分为两类，即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 二、数学建模 如图1，P为圆上一动点（半径为r），求PK+k•PB最小值。 解题方法： ①找到带系数k的线段端点（P、B）分别连接圆心O，即连接OP，OB； ②算得：OP：OB=k； ③在连接的两条线段中找非半径的线段（OB），在OB上截取点C，使得OC=kr，即OC：OB=k（OP：OB=OC：OP=k，∠O为公共角，可证△OCP∽△OPB，即PC=k•PB）； ④此时连接AC，即PK+k•PB的最小值为AC。 三、温故知新 1.角平分线定理：在△ABC中，AD为内角∠BAC的角平分线，则有AB：AC=BD：CD. 拓展：若AD为∠BACA外角的角平分线，则结论AB：AC=BD：CD成立. 2.阿波罗尼斯圆定理：到两定点A、B距离之比为定值m：n且不等于1的点P的轨迹位于以把线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端的定圆周上。 考情分析：已知动点P的轨迹是圆，求出PA+PB的最小值。 方法总结：子母相似的独特线段比值，共有线段平方等于另两线段积。既然比值为定值，因此阿氏圆在问题中最常用到的就是转化线段（倍数关系）。阿氏圆问题（转化线段类）的特点： ①题有一个圆（或隐圆），圆上有一个动点 ②此动点到两个点的距离，其中一段加权（加系数） ③被转化的线段的端点（非动点），就是阿氏圆线段的一个端点，关键就是找到阿氏圆线段的另一个端点。即可完成转化。 说明：当然两个线段都有系数，是可以转化为仅一个带系数的。一个带系数也可以转化为另一个带系数的。方法就是提公因式法，提系数。 类比探究：当轨迹是直线时为“将军饮马”或“胡不归”问题。 四、练习集锦 1.如图，在正方形ABCD中AB=8，点P是正方形ABCD内部的一点，且满足BP=4，则PD+PC的最小值是（ ） A.6 B.8 C.10 D.12 2.如图，在△ABC中，BC=12，AC=9，以C为圆心，6为半径的圆上有一动点D，连接AD、BD、CD，则BD+CD的最小值为_________。 3.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，AC=6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD、BD、CD，则BD+AD的最小值为_________。 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC与D、E两点，点P是圆C上一个动点，则AP+BP的最小值为 。 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=6，圆C的半径为2，点P是圆C上一个动点，连接AP，BP，求①AP+BP；②2AP+BP；③AP+BP；④AP+3BP的最小值。 6.已知⊙O的半径为2，AC、BD为切线，AC=2、BD=4，P为弧AB上的一动点，则PC+PD的最小值为 。 7.已知扇形COD中，∠COD=90°，CO=6，AO=3，BO=5，点P是CD上一点，则PB+2PA的最小值是 。 8.如图，抛物线与直线AB交于A(-4，-4)， B(0，4)两点，直线AC：交y轴于点C，点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G。 （1）求抛物线的表达式； （2）连接GB， EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A， E， F， H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM的最小值。 9.类比探究 （1）初步思考： 如图1，在△PCB中，已知PB=2，BC=4，N为BC上一点且BN=1，试证明：PN=PN. （2）问题提出： 如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+PC的最小值. （3）推广运用： 如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD-PC的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $