7.3.1三角函数的周期性课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

第7章 7.3 三角函数的图象和性质 7.3.1 三角函数的周期性 学习目标 1.了解周期函数的概念. 2.会判断一些简单的、常见函数的周期性. 3.会求一些简单三角函数的周期. 核心素养：数学抽象数学运算 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 新知学习 一　周期函数的定义 1周期函数 设函数y＝f（x）的定义域为A. 如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x+T∈A，并且f（x+T）＝f（x）， 那么函数f（x）就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期. 2最小正周期 对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就 叫作f（x）的最小正周期. 说明 一个周期函数的周期不止一个，如果T是函数f（x）的周期，那么kT（k∈Z且k≠0）也一定是函数f（x）的周期.例如f（x+2）＝f（x），则f（x+4）＝f（x）. 说明 若不加特殊说明，本书所说的周期就是指函数的最小正周期. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例 求下列函数的周期： （1）y＝cos 2x；（2）y＝sin x；（3）y＝2sin.    【解】 利用周期公式求解. （1）∵ ω＝2，∴ T＝＝π. （2）∵ ω＝，∴ T＝＝4π. （3）∵ ω＝，∴ T＝＝6π. 提示 对于函数y＝Asin（ωx+φ）、y＝Acos（ωx+φ）及y＝Atan（ωx+φ）的周期，只与ω有关，与φ无关. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 知识拓展 抽象函数周期性的相关结论 （1）若函数f（x）（x∈R）满足f（a+ x）＝f（b+x）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T＝|b-a|. （2）若函数f（x）（x∈R）满足f（a+ x）＝-f（b+x）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T＝2|b-a|. （3）若函数f（x）（x∈R）满足f（a+ x）·f（b+x）＝±1（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T＝2|b-a|. （4）若函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（x-a）+f（x+a）（a>0），则函数f（x）是周期函数，且6a是它的 一个周期. （5）若函数f（x）（x∈R）的图象有两条相邻的对称轴x＝a，x＝b（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周 期T＝2|b-a|. （6）若函数f（x）的图象存在对称中心A（a，0），B（b，0）（a≠b），则函数f（x）为周期函数，且2|a-b|为 它的一个周期. （7）若函数f（x）的图象存在对称轴l：x＝a，对称中心B（b，0）（a≠b），则函数f（x）为周期函数，且4|a-b| 为它的一个周期. （8）若f（x+a）＝±，则2|a|为函数f（x）的一个周期. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 二　三角函数的周期性 1正弦、余弦、正切函数的周期 （1）正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x都是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它们的周期， 它们的最小正周期为2π. （2）正切函数y＝tan x也是周期函数，最小正周期为π. 2周期公式 函数y＝Asin （ωx+φ）及y＝Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0）的周期为， 函数y＝Atan （ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0）的周期为. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 典例剖析 一、利用函数周期性求函数值 例  1 已知函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）＝-（f（x）≠0）. （1）求证：函数f（x）是周期函数； （2）若f（1）＝-5，求f（f（5））的值. 【证明】（1）∵ f（x+2）＝-，∴ f（x+4）＝-＝-＝f（x）， ∴ f（x）是周期函数，4就是它的一个周期. 【解】  （2）∵ 4是f（x）的一个周期，∴ f（5）＝f（1）＝-5， ∴ f（f（5））＝f（-5）＝f（-1）＝-＝-＝. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 二、三角函数的周期应用 1求三角函数的周期 例  2 求下列函数的周期. （1）y＝（x∈R）；（2）y＝|sin 2x|（x∈R）. 【解】 （1）（方法1：定义法）令u＝3x-，∵ x∈R，∴ u∈R. ∵ 函数y＝2sin u的最小正周期是2π，∴ 变量u至少要增加到u+2π，函数y＝2sin u（u∈R）的值才能重复取得. 又u+2π＝3x-+2π＝，∴ 自变量x至少要增加到x+，函数的值才能重复取得， ∴ 函数y＝（x∈R）的周期为. （方法2：公式法）函数