7.2.2同角三角函数关系课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

第7章 7.2 三角函数概念 7.2.2 同角三角函数关系 学习目标 1.掌握同角三角函数关系的推导. 2.熟练应用同角三角函数关系式解决简单的求值、化简和三角恒等式的证明. 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 新知学习 一　同角三角函数的基本关系式 1.平方关系：sin2α+cos2α＝1. 语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 2.商数关系：＝tan α. 语言叙述：同一个角αα≠+kπ，k∈Z的正弦和余弦的商等于角α的正切. 提示　sin2α是（sin α）2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 提示　一是“角相同”，必须是同一个角的正弦、余弦和正切才存在这种关系，而sin2α+cos2β＝1就不一定成立.二是对任意一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立，即与角的表达形式无关，例如：sin225° + cos225°＝1，sin2+cos2＝1，sin2（α+β）+cos2（α+β）＝1. 示例（1）已知tan α＝，且α∈，则sin α的值是（　） A.- B. C. D.- （2）已知sin θ＝，cos θ＝，则m的值为　　　　. 解析 （1）（方法1）因为α∈，所以sin α<0.由tan α＝＝，sin2α+cos2α＝1，得sin α＝-. （方法2：秒杀法）利用锐角三角函数的定义进行求解.如图，在Rt△ABC中，取AC＝1， BC＝2，则AB＝，|sin α|＝sin B＝＝.因为α∈，所以sin α＝-. A 0或8 （2）因为sin2θ+cos2θ＝1，所以+＝1.整理得m2-8m＝0，解得m＝0或8. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 二　同角三角函数的基本关系式的变形 1平方关系sin2α+cos2α＝1的变形 （1）1＝sin2α+cos2α； （2）sin2α＝1-cos2α，sin α＝±； （3）cos2α＝1-sin2α，cos α＝±； （4）（sin α-cos α）2＝1-2sin αcos α，＝|sin α-cos α|； （5）（sin α+cos α）2＝1+2sin αcos α，＝|sin α+cos α|； （6）（sin α+cos α）2+（sin α-cos α）2＝2. 2商数关系的变形 （1）sin α＝cos αtan α；（2）cos α＝. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 知识拓展 关于sec α，csc α，cot α（上节课的知识点四有讲解）的同角三角函数关系： 倒数关系：sin α·csc α＝1，cos α·sec α＝1，tan α·cot α＝1； 商数关系：tan α＝，cot α＝； 平方关系：sin2α+cos2α＝1，1+tan2α＝sec2α，1+cot2α＝csc2α. 解析（1）因为是第二象限角，所以<0，所以＝＝＝-. （2）由商数关系可知A正确，D不正确.当α为第二象限角时，cos α<0，sin α>0，故C正确，B不正确. 示例 （1）化简的结果是（　） A. B.C.- D.- （2）［多选题］如果α是第二象限角，下列各式中成立的是（　） A. cos α＝ B. cos α＝ C. sin α＝　 D. cos α＝sin αtan α AC C 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 典例剖析 一、已知角的某种三角函数值，求其余三角函数值 例  1 已知sin α+3cos α＝0，求tan α，sin α，cos α的值. 【解】∵ sin α+3cos α＝0，∴ sin α＝-3cos α，∴ tan α＝-3. 又sin2α+cos2α＝1，∴ （-3cos α）2+cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴ cos α＝±. ∵ tan α＝-3<0，∴ 角α的终边在第二或第四象限. 当角α的终边在第二象限时，cos α＝-，sin α＝； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝-. 【方法总结】已知角α的某种三角函数值，求角α的其余三角函数值.这类问题的本质是给值求值，解题方法一般是 先选用平方关系，再用商数关系.若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在 的象限不确定，由已知三角函数值的正负确定角α可能所在的象限，分类讨论，一般有两组结果. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 二、弦切互化求值 例  2 已知tan α＝3，