6.1幂函数课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

第6章 6.1 幂函数 学习目标 1.了解幂函数的概念，会画出5个常见函数的图象，能根据简单的幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质. 2.了解几个常见幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式的值大小. 3.进一步体会分类讨论和数形结合的思想方法，掌握由特殊到一般的综合归纳方法，激发自主研究与总结的能力. 核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 新知学习 一、幂函数的概念 1.幂函数的定义 一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2幂函数的特征 （1） xα的系数为1；（2） xα的底数是自变量x，指数为常数α；（3）项数只有一项.只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 对于形如y＝（2x）α，y＝2x5，y＝xα+6等的函数都不是幂函数. 例如：在函数y＝，y＝2x2，y＝x2+x，y＝2x中，只有y＝＝x-2是幂函数. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 【思考】函数y＝x0是幂函数吗？ y＝x0是幂函数，该函数的定义域为. 【思考】函数y＝1是幂函数吗？ 虽然x0＝1，y＝x0是幂函数，但是y＝1不是幂函数，因为它不满足幂函数的结构特征. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 二、常见幂函数的图象和性质　 1.五个常见幂函数的图象 当α＝1，2，3，，-1时，对应的五个幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1，它们的图象如图所示. 【知识拓展】五个常见幂函数的图象特征y＝xα （1）所有幂函数在（0，+∞）上都有意义. （2）幂函数的图象必过点（1，1），且一定会出现在第一象限内，不会出现在第四象限. （3） 当α>0时，幂函数的图象同时又过点（0，0），且在区间［0，+∞）上是增函数；当α<0时，在区间（0，+∞）上是减函数. （4）在第一象限内，直线x＝1右侧部分的图象，由下向上幂函数的指数越来越大. （5） 当α<0时， y＝xα的图象以x， y轴为渐近线，在第一象限内，当x从+∞趋向于0时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x从0趋向于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 2.五个常见幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1 定义域 R R R ［0，+∞） （-∞，0）∪（0，+∞） 值域 R ［0，+∞） R ［0，+∞） （-∞，0）∪（0，+∞） 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 在［0，+∞）上是增函数； 在（-∞，0］上是减函数 在R上为增函数 在［0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数； 在（-∞，0）上是减函数 图象过 定点 （0，0）， （1，1） （0，0）， （1，1） （0，0）， （1，1） （0，0）， （1，1） （1，1） 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例　（1）函数y＝的定义域是　　　　，值域是　　　 　； （2）函数y＝的定义域是　　　 　，值域是　　 　　. 【分析】可以将分数指数幂化成根式形式，依据根式有意义求定义域，进而求得值域. 【解】（1）函数y＝＝的定义域是R，值域是［0，+∞）. （2）函数y＝＝的定义域是（0，+∞），值域是（0，+∞）. 【方法总结】幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，定义域要确保解析式有意义，值域要在定义域范围内求解. （0，+∞） R ［0，+∞） （0，+∞） 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例　设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　） A. a<b<c B. c<a<b C. b<c<a D. b<a<c 【方法技巧】幂值的大小的比较方法 （1）比较大小问题一般是利用函数的单调性； （2）当不便利用单调性时，可以与0和1进行比较； （3）可以利用“作商法”比较大小，但要注意函数值的正负问题. D 【解析】∵ y＝在［0，+∞）上单调递增，∴ >. 又y＝在［0，+∞）上单调递增， ∴ >＝，∴ b<a <c. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 三、一般幂函数的图象和性质　 幂函数y＝xα在第一象限的图象特征 （1）当α>0时，幂函数的图象恒经过定点（0，0）和（1，1），且在［0，+∞）上为增函数. （2） 当α<0时，幂函数的图象恒经过定点（1，1），且在（0，+∞）上为增函数. （3） 在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数的指数α递增，即“指大图高，指小图低”. （4）按α＝0，α＝1，α>1，0<α<1，α<0五种类型，列表如下： 高中数学 必修第一册 配套