5.4函数的奇偶性课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

第5章 5.4 函数的奇偶性 学习目标 1.理解函数的奇偶性的含义及其几何表达，会判断函数的奇偶性，能证明一些简单函数的奇偶性. 2.学会应用函数的图象理解与研究函数的性质. 核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 新知学习 一、奇、偶函数的定义 设函数y＝f（x）的定义域为A. 如果对于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f（-x）＝f（x），那么称函数y＝f（x）是偶函数； 如果对于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f（-x）＝-f（x），那么称函数y＝f（x）是奇函数. 如果函数f（x）是奇函数或偶函数，那么我们称函数f（x）具有奇偶性. 【解读】 利用定义判断函数的奇偶性 （1）确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称. （2）①若定义域不关于原点对称，则函数f（x）为非奇非偶函数. ②若定义域关于原点对称，则需再判断f（-x）与f（x）的关系. 若f（-x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数；若f（-x）＝-f（x），则函数f（x）为奇函数； 若f（-x）≠±f（x），则函数f（x）为非奇非偶函数；若f（-x）＝±f（x），则函数f（x）既是奇函数又是偶函数. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例 （1）下列函数中是偶函数的是（ 　） A.y＝2|x|-1，x∈［-1，2］ B.y＝x2+x C.y＝x3 D.y＝x2，x∈［-1，0）∪（0，1］ （2）给定四个函数：① f（x）＝x3+；② f（x）＝（x>0）；③ f（x）＝x2+1；④f（x）＝. 其中奇函数有（　 ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D B 【解析】（1）y＝2|x|-1，x∈［-1，2］的定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；y＝x2+x为非奇非偶函数；y＝x3为奇函数；y＝x2，x∈［-1，0）∪（0，1］的定义域关于原点对称且满足f（-x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数.故选D. （2）①函数的定义域为R，且f（-x）＝-（x3+）＝-f（x），则函数f（x）是奇函数；②函数的定义域不关于原点对称，则函数y＝（x>0）为非奇非偶函数；③函数的定义域为R，f（0）＝0+1＝1≠0，则函数y＝x2+1不是奇函数；④函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）＝＝-＝-f（x），则函数y＝是奇函数. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 二、函数奇偶性的图象特征 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. （2）如果一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称， 那么它是偶函数. （3）如果f（x）为奇函数，点（x，f（x））在其图象上，那么点（-x，f（-x））， 即点（-x，-f（x））也在f（x）的图象上； 如果f（x）为偶函数，点（x，f（x））在其图象上，那么点（-x，f（-x））， 即点（-x，f（x））也在f（x）的图象上. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例　　已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式x·f（x）<0的解集为　　 　　. 【解析】∵ x·f（x）<0，∴ 当x>0时，f（x）<0，结合函数的图象可得1<x<2； 当x<0时，f（x）>0，根据奇函数的图象关于原点对称，可得-2<x<-1. ∴ 不等式x·f（x）<0的解集为（-2，-1）∪（1，2）. （-2，-1）∪（1，2） 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例　　奇函数f（x）的定义域为［-5，5］，若当x∈［0，5］时，f（x）的图象如图所示， 则不等式f（x）<0的解集是　　 　　. 【解析】由于奇函数的图象关于原点对称，故函数f（x）在定义域［-5，5］上的图象如图所示. 由图象知不等式f（x）<0的解集是（-2，0）∪（2，5］. （-2，0）∪（2，5］ 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 三、奇、偶函数的运算性质与复合函数的奇偶性 1.奇、偶函数的运算性质 对于定义域的交集不是空集的具有奇偶性的两个函数. （1）两个奇函数的和仍为奇函数，即奇+奇＝奇. （2）两个偶函数的和仍为偶函数，即偶+偶＝偶. （3）两个奇函数的积为偶函数，即奇×奇＝偶. （4）两个偶函数的积为偶函数，即偶×偶＝偶. （5）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数，即奇×偶＝奇. 高中数学