3.2基本不等式课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

第3章 3.2 基本不等式≤（a，b≥0） 学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明. 2.能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小. 3.能运用基本不等式解决最大值或最小值问题. 核心素养：逻辑推理、数学运算 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 新知学习 一、重要不等式与基本不等式　 1.基本不等式 如果a，b是正数，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 【特别提示】基本不等式≤中，要注意两点： （1）基本不等式成立的条件是a，b都是非负数.（2）≤等号成立的条件是当且仅当a＝b. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 2.重要不等式 一般地，a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 【提示】不等式ab≤与≤的比较 1.两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是不同的.前者要求a，b是实数即可，后者只要a≥0，b≥0即可. 2.两个不等式a2+b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是当且仅当a＝b时，等号成立. 2.重要不等式 一般地，a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 【知识剖析】 1.（a-b）2≥0a2+b2-2ab≥0a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 2.当a，b∈R时，有ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立； 当a，b∈R时，有ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例　若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中恒成立的是（　） A.a2+b2>2ab B.a+b≥ C. +> D. +≥2 D 【解析】∵ a2+b2-2ab＝（a-b）2≥0，∴ A错误. 对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误. 对于D，∵ ab>0，∴ +≥＝2，当且仅当a＝b时，等号成立. 【类题通法】基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例　设a，b为正数，证明下列不等式成立： （1）+≥2；　　　（2）a+b++≥4. 【证明】（1）因为a，b为正数，所以也为正数. 由基本不等式，得+≥＝2，当且仅当＝，即a＝b时，取得等号.所以原不等式成立. （2）因为a，b为正数，所以，也为正数. 由基本不等式，得≥＝2，≥＝2，所以a+b++≥4， 当且仅当a＝，b＝，即a＝b时，取得等号.因此，原不等式成立. 【方法技巧】在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 【知识拓展】几个重要的不等式：（1） +≥2（a，b同号）； （2）当ab>0时， +≥2；当ab<0时， +≤-2；（3）a2+b2+c2≥ab+bc+ca（a，b，c∈R）. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 二、基本不等式与最值 最值定理：已知x，y都是正数，则 1.如果和x+y等于定值S（和为定值），那么当x＝y时，积xy有最大值S2； 2.如果积xy等于定值P（积为定值），那么当x＝y时，和x+y有最小值. 【解读】利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正，二定，三相等. （1）一正：各项必须为正数.例如，求代数式x+的最值时，不能直接用x+≥＝2.取特殊值x＝-1，x+＝-2，可见x+的最小值不为2，产生错误的原因是这里的x不一定为正数.只有各项为正数时才能利用基本不等式. （2）“二定”，即含变量的各项的和或积必须是定值（常数）.如果要求a+b的最小值，那么ab必须是定值；要求ab的最大值，a+b必须是定值.例如，已知0<x<，求（5-3x）x的最大值，需变形为（5-3x）·3x·，这时3x+（5-3x）＝5为定值，且3x>0，5-3x>0. （3）“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值.例如，y＝+，虽满足“正”和“定”的条件，但要取等号需＝，即x2+2＝1，这是不可能的，所以其最小值不是2. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材  示例　如果a>0，那么a++2的最小值是　　　　. 4 【解析】因为a>0，所以a++2≥+2＝2+2＝4. 示例　已知0<x<1，则x（1-x）的最大值为　　　　，此时x＝　　　　. 【解析】因为0<x<1，所以1-x>0，所以x（1-x）≤［x+（1-x）］2＝， 当且仅当x＝1-x，即x＝时等号成立，所以x＝，x（1-x）取得最大值，最大值为. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材  【归纳】（1）用基本不等式≥求最值时，一定要明