5.1复数的概念及其几何意义课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§1 复数的概念及其几何意义 第五章 1.了解数的概念的发展过程和数集扩充到复数集的必然性. 2.理解复数的代数形式，理解虚数单位、复数的实部与虚部等概念和复数的分类，能够利用复数的概念解决简单的复数问题. 3.理解复数相等的充要条件，复数模的概念. 4.理解复数与复平面内点的对应关系，体会二维空间中数与形之间的内在联系，理解复数的几何意义. 核心素养：数学抽象，直观想象，数学运算. 学习目标 高中数学 必修第二册 北师大版 一、复数的概念 新知学习 1.复数的概念 为解决像x2＝-1这样一个简单的方程的解的问题，人们引进一个新数i，叫作虚数单位，并规定： （1）它的平方等于-1，即i2＝-1； （2）实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立. 形如（其中）的数叫作复数，通常用字母表示，即，其中称为复数的实部，记作Re ，称为复数的虚部，记作Im . 对于复数，当且仅当＝0时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，叫作虚数；当＝0且时，叫作纯虚数. 高中数学 必修第二册 北师大版 2.复数的分类 根据复数中的取值不同，复数可以有以下的分类： 复数（） 全体复数构成的集合称为复数集，记作C.显然. 3.复数相等 两个复数与（）相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即 当且仅当且. 应当注意，两个实数可以比较大小，但是两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或不相等.例如，2+i和3+i之间无大小可言. 高中数学 必修第二册 北师大版 二、复数的几何意义 1.复数与复平面内的点的对应 任何一个复数（），都可以由一个有序实数对（）唯一确定.因为有序实数对（）与平面直角坐标系中的点（）一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集是一一对应的 如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数可以用点表示.这个通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，轴称为实轴，轴称为虚轴.显然，实轴的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.因此，复数与复平面内的点是一一对应的，即复数复平面内的点. 这是复数的一种几何意义. 高中数学 必修第二册 北师大版 名师点析 （1）复数的实质是有序实数对. （2）复平面内的点Z的坐标是（），而不是（）.也就是说，复平面内的虚轴单位长度是1，而不是i. （3）当＝0，时，是纯虚数，所以虚轴上的点（0，）（）都表示纯虚数. （4）复数中的，书写时应为小写，复平面内点中的，书写时应为大写. 高中数学 必修第二册 北师大版 2.复数与复平面内平面向量的对应 在平面直角坐标系中，平面向量与有序实数对一一对应，而有序实数对与复数也是一一对应的.于是，还可以用平面向量来表示复数.如图，复数与复平面内的向量＝（）也是一一对应的，即复数平面向量. 这是复数的另一种几何意义. （1）为了方便，常把复数说成点或向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数. （2）根据复数与平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数、复平面内的点和平面向量之间的关系可用右图表示. 名师点析 高中数学 必修第二册 北师大版 3.复数的模 向量的模称为复数的模，记作||或||.由向量模的定义可知，||＝||＝.如果＝0，那么是一个实数，它的模等于||＝＝＝||（的绝对值）. 虽然两个复数一般不能比较大小，但它们的模是非负实数，可以比较大小. 若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复数的共轭复数用表示.当时，＝.显然，在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称（如图），并且它们的模相等.另外，当复数的虚部＝0时，有＝.也就是说，任意一个实数的共轭复数仍是它本身，反之亦然. 高中数学 必修第二册 北师大版 共轭复数的性质（拓展） （1）＝. （2）若，则·＝||2＝||2＝.利用这个结论，在复数集中可以将分解为（）（）. （3）＝. （4）若，则+＝，＝. 名师点析 高中数学 必修第二册 北师大版 一　复数的分类 例1　求实数取何值时，复数＝+（）i分别是： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 典例剖析 解题提示：依据复数的分类构造关于的方程或不等式求解. 解：（1）要使是实数，则需满足＝0且≥0，解得＝1或＝9. （2）要使是虚数，则需满足且≥0，解得≤0或>1且9. （3）要使是纯虚数，则需满足且＝0，解得＝0. 高中数学 必修第二册 北师大版 反思感悟 反思感悟 求解（1）（2）时易忽略这个隐含条件，虽然不影响（1）的结果，但也要注意检验. 规律总结：依据复数的分类求参数时要先确定复数的实部与虚部何时有意义，再结合实部与虚部的取值进行求解.要特别注意复数为纯虚数的充要条件是且. 高中数学 必