4.2两角和与差的三角函数公式课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§2 两角和与差的三角函数公式 第四章 1.理解用向量法推导两角差的余弦公式的主要步骤，熟记公式的形式及符号特征. 2.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦及正切公式的方法. 3.会用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简. 核心素养：数学运算，逻辑推理. 学习目标 高中数学 必修第二册 北师大版 一、两角和与差的余弦公式 新知学习 （Cα+β） （Cα-β） 高中数学 必修第二册 北师大版 名师点析 （1）两角差（和）的余弦公式的结构特点是：等号左边是差（和）角的余弦值，等号右边是单角的余弦值的乘积与正弦值的乘积的和（差）. 记忆规律：同名相乘，加（减）号相连，余弦在前，正弦在后. （2）两角和与差的余弦公式可以简记为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和的余弦展开后两项之间用“-”，两角差的余弦展开后两项之间用“+”； ③两角和与差的余弦展开后只有中间的连接符号不同. 高中数学 必修第二册 北师大版 二、两角和与差的正弦、正切公式 借助诱导公式，根据两角和与差的余弦公式，可以推导出两角和与差的正弦公式. ＝＝+ 　　　　　　＝， ＝sin［］＝ 　　　　　　＝. 从而可得两角和与差的正弦公式，记作Sα±β. （Sα+β） （Sα-β） 高中数学 必修第二册 北师大版 名师点析 两角和与差的正弦公式的结构特征 两角和与差的正弦公式的左端为两角和或差的正弦，右端为的异名的三角函数积的和或差. 因此，两角和与差的正弦公式可以简记为“正余余正，符号相同”. （1）“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦，余弦乘正弦； （2）“符号相同”是指展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和用“+”，两角差用“-”； （3）两角和与差的正弦展开后只有中间的连接符号不同. 高中数学 必修第二册 北师大版 由正切函数的定义，有＝. 分子、分母同除以（当时），得到两角和与差的正切公式，记作Tα+β，同理可得Tα-β. ，（Tα+β） .（Tα-β） 从推导过程可以知道均有一定的取值范围，即 π+（），π+（），π+（）， 这样，才能保证及都有意义. 高中数学 必修第二册 北师大版 三、积化和差与和差化积公式 前面已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，分别如下： ；①　　；② ；③　　.④ 上述4个公式中，③+④，③-④，①+②，①-②，得 ，， ，. 即＝［］，＝［］， ＝［］，＝［］. 高中数学 必修第二册 北师大版 积化和差公式： ＝［］；＝［］； ＝［］；＝［］. 名师点析 （1）积化和差公式的推导运用了“解方程组”的思想. （2）积化和差公式中的“积”与“和差”都是指三角函数值之间的关系，并不是指角的关系. （3）积化和差公式的用处是将两角的正弦、余弦值的积都化成±［］（*）的形式. （4）公式的记忆方法：①如果等号左边的两个三角函数同为正弦或余弦函数，那么公式（*）中“”表示余弦函数，②如果等号左边的两个三角函数一个为正弦函数，一个为余弦函数，那么公式（*）中“”表示正弦函数. 高中数学 必修第二册 北师大版 ＝；＝； ＝2cos ；＝. 从积化和差的4个公式可以得出 ；； ＝；. 设，则＝，＝.这样，上面得出的四个式子可以写成 三、三角函数的和差化积 这四个公式叫作和差化积公式，利用它们和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函数的和或差化成积的形式. 高中数学 必修第二册 北师大版 名师点析 记忆方法：公式左边全是同名函数的和或差，前两个是正弦的和或差，后两个是余弦的和或差；右边积的系数前三个是“2”，第四个是“-2”；公式左边两角一个是，另一个是，右边两角中前一个是两角和的一半，后一个是两角差的一半；正弦和的积式为正弦乘余弦，正弦差的积式为余弦乘正弦，余弦和的积式全为余弦，余弦差的积式全为正弦. 高中数学 必修第二册 北师大版 一　角函数式的求值问题 <1> 给值求值 例1　（1）已知∈，＝，则＝　　　　. （2）已知＝，＝，∈，则＝（　　） A.        B.        C.        D. 典例剖析 解题提示：（1）先求得，然后利用两角和的正切公式求解； （2）“构造角”：＝+，利用两角和的余弦公式求解. 高中数学 必修第二册 北师大版 解析：（1）∵ ∈，＝，∴ ＝，＝＝， ∴＝＝＝7. （2）∵ ∈，∴ ∈.又∵＝，∴＝. 又∵ ∈，∴ ∈. 又∵＝，∴＝-， ∴ cos（）＝ ＝ -sin ＝×-×