4.1同角三角函数的基本关系课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§1 同角三角函数的基本关系 第四章 1.理解根据三角函数的定义,利用单位圆,导出同角三角函数的基本关系式. 2.掌握运用基本关系式进行三角函数式的求值、化简运算. 3.掌握运用基本关系式进行三角恒等式的证明. 4.掌握处理三角函数基本关系问题的两种方法:“1”的代换与“弦切互化”. 核心素养:数学运算,逻辑推理. 学习目标 高中数学 必修第二册 北师大版 一、基本关系式 新知学习 如图,任意角的终边与单位圆的交点的坐标是(cos ,sin ),点到坐标原点的距离为1,所以. (4.1) 另外,由正切函数的定义,有tan =, (4.2) 这两个关系式是同角三角函数的基本关系式. 高中数学 必修第二册 北师大版 名师点析 1.对一切都成立;tan =仅在π+()时成立. 2.这里的“同角”应作广义上的理解,如与、2与2、2+与2+是同角,即“同角”的概念与角的表达形式无关,如sin23+cos23=1,=tan(2π+π,)恒成立. 3.是()2的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦,两者是不同的. 高中数学 必修第二册 北师大版 二、应用 1.由角的某一个三角函数值,利用(4.1)和(4.2)这两个关系式,可以求出其他三角函数值. 根据同角三角函数的基本关系式求值时,一般有以下两种情形 (1)如果已知角的某个三角函数值,且该角的终边所在的象限已被指定时,那么只有一解; (2)如果已知角的某个三角函数值,但没有指定该角在哪个象限时,那么按角的终边可能所在的象限进行分类讨论,一般有两解. 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,其最基本的应用是“知一求二”. 名师点析 高中数学 必修第二册 北师大版 2.综合应用 (1)求三角函数值的时候,通常是利用同角三角函数的基本关系和已知条件把问题归结为:解正弦(或余弦)函数值的一个一元二次方程,或者解正弦函数和余弦函数值的二元方程组. (2)证明恒等式,既可以利用恒等式的“左式减右式为零”进行证明,也可以证明恒等式的左式、右式分别等于同一个式子. 高中数学 必修第二册 北师大版 一 利用同角三角函数的基本关系求值 <1> 已知某个三角函数值,求其余三角函数值 例1 (1)已知cos =-,求sin 和tan ; (2)已知角的终边在第一象限,且tan =2,求sin 和cos . 典例剖析 解题提示:(1)已知角的余弦值,先利用平方关系求sin ,再求tan ,注意角是第几象限角不确定,故需要分类讨论; (2)根据同角三角函数的商数关系和平方关系求解. 高中数学 必修第二册 北师大版 解:(1)∵ cos =<0,∴ 是第二或第三象限角. 当是第二象限角时,sin ===,∴ tan ===-; 当是第三象限角时,sin =-=-=,∴ tan ===. (2)∵ tan =2,即=2,∴ sin =2cos . 又∵ ,∴ ,即=. ∵ 角是第一象限角,∴ cos =,∴ sin =2cos =. 高中数学 必修第二册 北师大版 反思感悟 反思感悟 当角的终边所在的象限不确定时,求解三角函数值的步骤如下: (1)根据已知三角函数值的符号,确定角的终边所在的象限; (2)对角的终边所在的象限进行分类讨论; (3)根据角的终边所在的象限确定由平方关系开方后的符号,进而求出其余三角函数值. 高中数学 必修第二册 北师大版 已知=, <<π,那么的值是( ) A.- B. C. D. 跟踪训练 A 高中数学 必修第二册 北师大版 <2> 利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值 例2 已知=,∈(0,π),求下列各式的值; (1); (2); (3); (4). 解题提示:解决本题有两种思路,一是利用已知式和待求式之间的关系整体求解;二是利用sin +cos =,并结合求出sin ,cos ,然后代入待求式即可求解. 高中数学 必修第二册 北师大版 解:(方法1)(1)∵ sin +cos =,∴ (sin +cos )2=1+2sin cos =,∴ sin cos =. (2)∵ ∈(0,π),∴ sin >0. ∵ sin cos =<0,∴ cos <0,∴ sin cos >0, ∴ sin cos ====. (3)=()()=×=. (4)=()() =()[()23]=×=. 高中数学 必修第二册 北师大版 (方法2)由=,得=. 又,∴ =1,整理,得=0, 即=0,解得sin =或sin =. 又∈(0,π),∴ >0,故sin .∴ cos =sin ==. 从而(1)=. (2)=-=. (3)=-=.(4)=+=. 高中数学 必修第二册 北师大版 反思感悟 反思感悟 1.事实上,由=,=,