2.6.2平面向量在几何、物理中的应用举例课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§6 平面向量的应用 第二章 6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学与其他一些实际问题.. 核心素养：逻辑推理、数学运算、直观想象. 学习目标 高中数学 必修第二册 北师大版 一、向量在几何证明中的应用 由于向量的运算有着鲜明的几何背景，几何图形的许多变化和性质，如平移、全等、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示，因此，用向量方法可以解决几何中的一些问题. 新知学习 名师点析 运用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何问题的答案.   高中数学 必修第二册 北师大版 二、向量在物理中的应用 既有大小又有方向的物理量是数学中向量的现实原型，向量是解决许多物理问题的有力工具. 名师点析 用向量解决物理问题的步骤如下： （1）抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题； （2）建立以向量为主体的数学模型； （3）利用向量的线性运算或数量积运算求解数学模型； （4）用数学模型中的数据解释或分析物理问题.   高中数学 必修第二册 北师大版 4 一、向量在平面几何中的应用 <1> 垂直问题 例1　如图，在中，∠＝90°，，为的中点，是上一点，且，求证：⊥. 典例剖析 解题提示：要证⊥，只需证明·＝0即可. 解：（方法1）由题意知，·＝· ＝-||2+·+·+· ＝-||2+0+||2cos 45°+||2cos 45° ＝-||2+||2＝0， ∴⊥，∴ ⊥. 高中数学 必修第二册 北师大版 （方法2）以直角顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设＝1，则（0，0），（1，0），（0，1），，∴＝. 又，∴，∴＝. ∴·＝（-1）×+×＝0， ∴⊥，∴ . 高中数学 必修第二册 北师大版 反思感悟 反思感悟 用向量法解决线段垂直问题的一般思路 （1）转化为两个向量垂直问题（向量的数量积为0）来解决. （2）选择恰当的基（基中的向量的长度和夹角尽量已知）；如果所给条件容易建系，那么可以建立平面直角坐标系，用向量坐标法解决有关问题.  高中数学 必修第二册 北师大版 跟踪训练　 已知：如图，是⊙的直径，点是⊙上任一点（不与重合）. 求证：∠＝90°. 证明：如图，连接，设向量＝，＝， 则＝且＝-＝，＝-＝. ∴·＝＝＝0.∴⊥，即∠＝90°. 高中数学 必修第二册 北师大版 <2> 长度问题 例2　　如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点（不包括端点），E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，证明：PA＝EF. 解题提示：因四边形是正方形，故可建立适当的直角坐标系，运用坐标法完成. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，（0<<）， 则（0，1），，，， ∴＝，＝， ∴ ||＝，||＝， ∴ ||＝||，∴ . 高中数学 必修第二册 北师大版 反思感悟 反思感悟 利用向量求线段长度的关系的方法 （1）选择合适的基，利用向量的线性运算，结合相等向量、平行向量或平面向量基本定理等求解线段长度的关系； （2）建立平面直角坐标系，利用向量坐标法求出所求线段的长度，再确定线段长度的关系.   高中数学 必修第二册 北师大版 跟踪训练 在平行四边形中，＝1，∠＝60°，为的中点，若·＝，则的长为　　　　.   2 解析：如图所示，由题意可得＝+＝-， ∴·＝·＝-··＝1-×1×||×cos 60°＝，∴ ||＝2. 高中数学 必修第二册 北师大版 <3>平行（共线）问题 例3　如图，已知点是内部一点，并且满足++＝0，的面积为，的面积为，则＝（　　） A. B. C. D. 解题提示：利用++＝0，确定点的位置，结合三角形面积公式求解. 解析：因为++＝0，所以+＝-2（+）. 分别取的中点则+＝，+＝，所以＝-， 即三点共线且||＝2||.连接，则＝. 因为为中点，所以＝，所以＝.故选A. 答案：A 高中数学 必修第二册 北师大版 跟踪训练　 如图，在中，是的中点，点在上，且＝2，与相交于点，求的值. 解：设＝，＝， 则＝+＝，＝+＝. ∵ 点和分别共线， ∴ 存在实数，使＝＝，＝＝2. ∴＝-. ∵＝+＝，∴解得 ∴＝，∴＝4∶1. 高中数学 必修第二册 北师大版 <4> 其他问题 例4　如图，在等腰梯形中，已知∥，＝4，＝2，∠＝60°，动点和分别在线段和上（含端点），且＝，＝