2.6.1余弦定理与正弦定理课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§6 平面向量的应用 第二章 6.1 余弦定理与正弦定理 1.掌握余弦定理、正弦定理,并能解决三角形中一些简单的度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 核心素养:直观想象、数学运算、逻辑推理. 学习目标 高中数学 必修第二册 北师大版 一、余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍,即 余弦定理是勾股定理的推广. 利用余弦定理,可以由三角形的三条边,求出它三个角的大小. cos =,cos =,cos =. 新知学习 高中数学 必修第二册 北师大版 1.适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立. 2.反映的是三角形边长的平方与角的余弦之间的关系. 3.揭示的规律:余弦定理是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系. 名师点析 高中数学 必修第二册 北师大版 二、正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即== 名师点析 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征:分子为三角形的三边长,分母为相应边所对角的正弦函数值. (3)正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边角关系的互化. (4)公式的变形:①sin =,; ②,,;③=,=,. (5)三角形中边、角及正弦值大小的对应关系:. 正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广,它的主要功能是实现三角形中边角关系的互化. 高中数学 必修第二册 北师大版 5 在三角形的三条边和三个角这6个元素中,如果已知3个(至少含一边长),那么由余弦定理和正弦定理,就可以求得其他3个元素.具体情形如下: 情形1 已知两个角的大小和一条边的边长. 先由三角形内角和等于180°求出第三个角的大小,然后依据正弦定理求得另外两条边的边长. 情形2 已知两条边的边长及其夹角的大小. 先由余弦定理求出第三条边的边长,然后再由余弦定理求得第二、第三个角的大小. 情形3 已知三条边的边长. 由余弦定理求出两个角,再利用三角形内角和等于180°求出第三个角. 情形4 已知两条边的边长和其中一边对角的大小. 首先,由正弦定理求出第二条边所对角的正弦,这时,要判断是两解、一解还是无解.然后,根据三角形内角和等于180°得到第三个角的大小.最后,由余弦定理或正弦定理求得第三条边的边长. 三 用余弦定理、正弦定理解三角形 高中数学 必修第二册 北师大版 一、利用余弦定理解三角形 <1> 已知三边,解有关问题 例1 在中,角,,所对的边分别为,,,若,,,则在方向上的投影等于(  ) A. B.-1 C.1 D. 典例剖析 解析:由余弦定理得, =, ∴在方向上的投影等于. 答案:B 高中数学 必修第二册 北师大版 跟踪训练 A 如果把的三边的长度都增加(),则得到的新三角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定 高中数学 必修第二册 北师大版 <2> 已知两边及其夹角,解有关问题 例2 的内角的对边分别为.已知=3,=2,cos()=,则=(  ) A. B. C.4 D. 解题提示:题干已给出角与角的和的余弦值,由三角形内角和可求得角的余弦值,再根据余弦定理代入相关值可求得边的值. 解析:∵ =3,=2,cos()==cos(π-)=cos,∴ cos =, ∴ 由余弦定理可得=32+22-2×3×2×=16,解得=4. 答案:C 高中数学 必修第二册 北师大版 跟踪训练 设的内角所对的边分别为,且=3,=1,的面积为. (1)求cos ; (2)求的值. 解:(1)∵ =3,=1,的面积为,∴×3×1×sin =,∴ sin =,∴ cos =±. (2)由余弦定理可得==或==. 高中数学 必修第二册 北师大版 <3> 已知两边及其中一边的对角,求解有关问题 例3 在中,=3,=4,=45°,则的形状可能是( ) A.钝角或锐角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.锐角或直角三角形 解析:由余弦定理,得9=16+2-2×4××, 整理可得2-+7=0,解得=±1. 由+1=<4,结合大边对大角可知∠为中的最大角, 当=+1时,cos =>0,为锐角三角形; 当=-1时,cos =<0,为钝角三角形. 综上可得的形状可能是钝角或锐角三角形. 答案:A 高中数学 必修第二册 北师大版 跟踪训练 B 的内角的对边分别为.若=2,=,cos =,且,则=( ) A. B.2 C. D.3 高中数学 必修第二册 北师大版 二 利用余弦定理进行边角互化 例4 在中,,,分别是内角,,的对边,且,则角的大小为(  ) A. B. C. D. 解析:∵,∴,∴. 又,∴. 答案:D 高中数学