2.3从速度的倍数到向量的数乘课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§3 从速度的倍数到向量的数乘 第二章 1.理解向量的数乘的定义及几何意义. 2.掌握向量数乘的运算，并能用已知向量表示未知向量. 3.掌握共线（平行）向量基本定理，会判断或证明两个向量共线. 核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算. 学习目标 高中数学 必修第二册 北师大版 一、向量的数乘运算 1.数乘运算的定义 实数与向量的乘积是一个向量，记作，满足以下条件： （1）当>0时，向量与向量的方向相同；当<0时，向量与向量的方向相反；当＝0时，0＝0. （2）||＝|. 这种运算称为向量的数乘. 新知学习 高中数学 必修第二册 北师大版 2.数乘的几何意义 如图，由实数与向量数乘的定义可以看出，它的几何意义是： 当时，表示向量的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的||倍； 当时，表示向量的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的||倍. 由向量的数乘定义容易推出，在非零向量方向上的单位向量是. 它表明一个非零向量除以它的模（乘它的模的倒数）的结果是一个与原向量同方向的单位向量，这一过程称为向量的单位化. 高中数学 必修第二册 北师大版 3.数乘运算的运算律 设为实数，为向量，那么根据向量的数乘定义，可以得到以下运算律： （1）； （2）； （3）. 高中数学 必修第二册 北师大版 名师点析 数乘运算的运算律的几何意义 以>0，>0为例，解释如下： （1）将表示向量的有向线段先伸长或缩短至原来的倍，再与将表示向量的有向线段伸长或缩短至原来的倍后的结果相加，与直接将表示向量的有向线段伸长或缩短至原来的（）倍所得的结果相同. （2）将表示向量的有向线段先伸长或缩短至原来的倍，再伸长或缩短至其倍，与直接将表示向量的有向线段伸长或缩短至原来的倍所得的结果相同. （3）将表示向量的有向线段先相加，再伸长或缩短至其λ倍，与将表示向量的有向线段先分别伸长或缩短至原来的倍后再相加所得的结果相同.   高中数学 必修第二册 北师大版 二、向量的数乘与向量共线的关系 1.共线（平行）向量基本定理 给定一个非零向量，则对于任意向量，的充要条件是存在唯一一个实数，使. 名师点析 （1）若存在一个实数，使得，则与共线（此结论称为共线向量的判定定理）； （2）若与（）共线，则必存在一个实数，使得（此结论称为共线向量的性质定理）. 提醒：若不共线，且（），则必有.   高中数学 必修第二册 北师大版 7 2.直线的向量表示 如图，已知两点确定一条直线，直线上任意一点P所对应的向量与向量共线，从而可以用表示，即存在唯一实数，使得＝.这说明由一个点和一个非零向量可以唯一地确定过点与向量共线的直线. 通常可以用＝表示过点的直线，其中称为直线的方向向量. 高中数学 必修第二册 北师大版 一、向量的线性运算 例1　已知与，且，，求. 典例剖析 解题提示：由于为已知向量，故可将已知条件看作关于的方程，联立方程组，利用加减消元法求解. 解：将的两边同乘以2，得， 与相加，得，即＝+， 所以＝＝. 高中数学 必修第二册 北师大版 反思感悟 反思感悟 向量的线性运算与实数的运算类似，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.向量的线性运算要注意所得的结果是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.向量的线性运算也可以通过方程的形式来考查，把所求的向量当作未知量，利用解方程（组）的方法求解.   高中数学 必修第二册 北师大版 跟踪训练　 Ｃ 下列四式中不能化简为的是（　　） A.（+）+ B.（+）+（+） C.（+）- D.（-）+   高中数学 必修第二册 北师大版 二　利用已知向量表示相关向量 例2　已知平面内四点满足＝+，则等于（　　） A. B. C.- D.- 解析：由＝+，可得＝+，则＝-＝+-＝（-）＝. ∵＝＝（-）＝， ∴＝，即＝. 答案：C 高中数学 必修第二册 北师大版 反思感悟 反思感悟 用已知向量表示其他向量，除了要利用向量的线性运算外，还应充分利用平面几何中的一些定理和性质，如三角形的中位线定理，相似三角形的对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有关的向量进行求解.此类问题直接化简或转化有困难时，可建立向量方程（组）求解. 高中数学 必修第二册 北师大版 跟踪训练 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则＝（　　） A.- + B. + C. - D. -   D 高中数学 必修第二册 北师大版 三　共线向量基本定理的应用 <1> 共线问题 例3　如图所示，已知＝，＝，试说明向量与的关系. 解：∵＝+＝+＝3（+）＝3， ∴与共线且同向，的长度是的3倍. 高中数学 必修第二册 北师大版