第9讲 正比例和反比例-2022-2023学年六年级数学下册易错题精编讲义（人教版）

第9讲 正比例和反比例（讲义） （知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练） 1、成正比例的量。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例。 2、正比例关系的图象。 正比例图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，线上所有点对应的两个数的比值都相等。 3、成反比例的量。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。字母关系式为x×y=k（一定）。 4、反比例关系的图象。 反比例关系的图象是一条平滑的曲线，线上所有点所对应的两个数的乘积都相等。 5、判断两种量成正比例还是成反比例的方法。 关键看这两种相关联的量中对应的两个数是比值一定还是积一定，如果比值一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。 1、当两种相关联的量相对应的两个数的比值不一定，而和一定时，它们不成正比例关系。 2、当两种相关联的量相对应的两个数的比值一定时，这两种量才能成正比例关系。 3、当两种相关联的量相对应的两个数的积不一定，而和一定时，它们不成比例。 4、当两种相关联的量相对应的两个数的积一定时，这两种量才能成反比例关系。 5、铺地的面积一定时，方砖的边长与所需的块数不成比例，但方砖的面积与所需的块数成反比例关系。 【易错一】下面两种相关联的量，成正比例的有（    ）。 ①正方形的周长和它的边长 ②一个圆的面积与它的半径 ③书的总页数一定，已读的页数和未读的页数 ④《百科全书》的单价一定，购买的总价和数量 A．一种 B．两种 C．三种 D．四种 【分析】两个相关联的量，若它们的比值一定，则它们成正比例。据此判断即可。 【详解】①因为正方形的周长÷边长＝4，比值一定，所以成正比例； ②一个圆的面积÷它的半径的平方＝π，所以一个圆的面积与它的半径不成比例； ③书的总页数一定，则已读的页数和未读的页数的和一定，已读的页数和未读的页数不成比例； ④《百科全书》的单价一定，购买的总价和数量的比值一定，成正比例。 故答案为：B 【点睛】本题考查正比例的判定，明确正比例的定义是解题的关键。 【易错二】某汽车行驶的时间和路程如下表。 时间/时 1 2 3 （    ） 5 （    ） …… 路程/km 60 120 180 240 300 360 …… （1）完成表格，路程与时间成（    ）比例；路程用S表示，时间用t来表示，请用式子表示出S，t和汽车速度之间关系（    ）。 （2）在图中描出表示路程和相应时间的点，然后把它们按顺序连起来。并估计一下行驶330千米大约要用（    ）小时。 【分析】（1）因60÷1＝60，120÷2＝60，60是一定的数，代表速度，速度（一定），所以路程和时间成正比例，设要填的数为x，列出比例，求出x的值即可，同样求出其它要填的数。根据路程÷时间＝速度，速度一定，路程用S表示，时间用t来表示，代入字母即可用式子表示出它们之间的关系。 （2）描出表示路程和相应时间的点，然后把它们按顺序连起来。速度（一定），所以路程和时间成正比例，要估计一下行驶330千米大约要用的时间，观察完成后的折线图上的数据，即可得解。 【详解】 解：设行驶240千米需要x小时， 解：设行驶360千米需要x小时， 完成表格如下： 时间/时 1 2 3 4 5 6 …… 路程/km 60 120 180 240 300 360 …… （1）通过上面的计算可知，路程与时间的比值一定，所以路程与时间成正比例；用式子表示出S，t和汽车速度之间关系：。 （2）作图如下： 从图中可以看出，当路程是330千米时，对应的横轴上的时间正好是5.5小时。所以行驶330千米大约要用5.5小时。 【点睛】此题考查正比例的意义，即相关联的两个量，如果比值一定，这两个量成正比例关系。 【易错三】有两种量a和b，它们的关系如下表。 a 2 3 4 6 … b 12 8 6 4 … (1) a和b成( )比例关系； (2)如果，那么b＝( )。 【分析】（1）两个相关联的量，若它们的乘积一定，则它们成反比例；若它们的比值一定，则它们成正比例； （2）用2×12的乘积除以48即可求出b的值。 （1）因为2×12＝24，3×8＝24，所以它们的乘积一定，则a和b成反比例关系。 （2）2×12÷48 ＝24÷48 ＝0.5 则b＝0.5 【点睛】本题考查正反比例的判定，明确正反比例的定义是解题的关键。 【易错四】两个数的乘积是12，将如表填完整。 一个因数 1 2 3 4