6.3.2-6.3.4平面向量的坐标表示和运算（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

6.3.2-6.3.4平面向量的坐标表示和运算 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：平面向量的坐标运算 必会题型二：向量共线的坐标表示的应用 必会题型三：利用向量运算的坐标表示解决平面几何问题 必会题型四：向量运算的坐标表示综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 平面向量的正交分解 给定平面内两个不共线的向量，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量，均可分解为两个向量，即，其中向量与共线，向量与共线．不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解．此时，这两个互相垂直的向量组成的基底为正交基底． 必会知识二 平面向量的坐标表示 1．平面向量的坐标表示 如图6-3.2-1，在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底．对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫作向量的坐标，记作．① 其中，叫作在轴上的坐标，叫作在轴上的坐标，①叫作向量的坐标表示． 2．平面向量与有序实数对的对应关系 如图6-3.2-2，在直角坐标平面中，以原点为起点作，则点的位置由向量唯一确定． 设，则向量的坐标就是终点的坐标；反过来，终点的坐标也就是向量的坐标．因为，所以终点的坐标就是向量的坐标．这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系． 必会知识三 平面向量加、减运算的坐标表示 1．平面向量加、减运算的坐标表示 已知，则． 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． 2．由向量起点和终点坐标求向量坐标的方法 已知为坐标原点，则． 因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 必会知识四 平面向量数乘运算的坐标表示 已知，则，即． 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 必会知识五 平面向量共线的坐标表示 1．平面向量共线的坐标表示：设，其中，则向量共线的充要条件是． 【推导过程】当时，，用坐标可写成，即中至少有一个不为0．不妨设，则，代人得，即． 2．两个向量共线的几种不同的表示方法 已知，且． (1)．这是几何运算，体现了向量与向量的长度及方向之间的关系． (2)．这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引人参数“”，从而减少了末知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征． (3)当时，，即若两个向量平行，则这两个向量的相应坐标成比例．这种形式不易出现搭配错误． 必会知识六 定比分点的坐标表示 1．线段定比分点的定义 如图6-3.2-5，设是直线上两点， 点是上不同于的任意一点，则 存在一个实数，使叫作点 分线段所成的比，点叫作线段 以定比为的定比分点． 2．定比分点的坐标表示 设为坐标原点，若,则,所以故点的坐标为． 在使用定比分点坐标公式时，应明确的意义，它们分别为分点、起点、终点的坐标．但在具体问题的计算中，往往是自行确定起点、分点、终点，并且这些点必须与定比分点公式中的起点、分点、终点相对应． 3．定比分点的两种特殊情况 利用定比分点坐标公式可以得到线段的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式． (1)中点坐标公式：设的中点为，则．利用中点坐标公式可解决与两点的中点有关的问题． (2)重心坐标公式：在中，，则的重心的坐标为． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：平面向量的坐标运算 1．（2022春·河南郑州·高一郑州外国语学校校考期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·高二课时练习）已知，且点，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·高二课时练习）平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2022春·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）已知向量，则（    ） A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0) 5．（2023·上海·统考模拟预测）已知向量，则_______________． 6．（2022春·福建福州·高一福州黎明中学校考期末）已知向量、满足，，则___________. 必会题型二：向量共线的坐标表示的应用 1．已知向量，， 且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2022春·河南平顶山·高一统考期末）已知向量，，，则可用与表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若