6.3.1平面向量基本定理（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

6.3.1平面向量基本定理 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：用基底表示向量 必会题型二：利用平面向量基本定理求值 必会题型三：利用平面向量基本定理求值及范围综合 必会题型四：利用平面向量基本定理综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使．若不共线，我们把叫作表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量基本定理的应用：平面向量基本定理是向量运算代数化的基础，要理解其实质．基底的选取是任意的，只要是不共线的两个向量都可以组成一个基底，因此常用基底表示向量，用来证明平面几何中的线线平行、重合、相交，线段相等等问题． (1)已知，求作的方法如下： (1)利用三角形法则； (2)利用平行四边形法则． (2)已知基底，用表示其他向量． (1)利用三角形法则或平行四边形法则； (2)设，用待定系数法求出． (3)平面向量基本定理的唯一性及其应用． 设是同一平面内的两个不共线向量，若，则有． 这个方法应用广泛，常用于待定系数法确定向量的过程中． 必会知识二 平面向量基本定理的拓展 由向量共线定理可知，平面内任意向量均可以由它的一个非零共线向量来表示，且表示是唯一的．因此，平面向量基本定理可看作该定理由一维到二维平面的一个推广．同样，把二维的平面向量基本定理推广到多维空间是如下情形：个不共线的向量与个实数所组成的向量叫作向量的线性组合，当向量是向量的线性组合，即时，称向量是可以分解成向量的线性组合，其中是关于向量的一个基底． 必会知识三 平面向量基本定理中实数的取值范围 如图6-3.1-3，，以为邻边作一平行四边形，将的边所在的直线画出来，将平面分成9个部分，对于平面上任一向量，由平面向量基本定理可得：存在唯一有序实数对，使得．对于点的位置与的取值有以下结论： (1)若点与点重合，则． (2)若点与点重合，则． (3)若点与点重合，则． (4)若点与点重合，则． (5)若点在直线上，则． (6)若点在直线上，则． (7)若点在直线上，则． (8)若点在直线上，则． (9)若点在直线上，则． (10)若点在直线上，则． (11)若点在(1)(2)区域内(不包含边界)，则有；若点在(4)(5)(6)区域内，则有；若点在(7)(8)(9)区域内，则有；若点在(3)(6)区域内，则有；若点在(2)(5)(8)域内，则有；若点在(1)(4)(7)区域内，则有． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：用基底表示向量 1．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考期末）已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·四川达州·高二四川省万源中学校考开学考试）在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）在正方形中，在上且有与对角线交于，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022秋·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）如图，是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·陕西西安·统考一模）在平行四边形ABCD中，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023秋·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考期末）在△中，延长到，使，在上取点，使与交于，设，用表示向量及向量. 8．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，，．设，． (1)用，表示，； (2)用向量的方法证明：A，F，C三点共线． 9．（2022·江苏·高一开学考试）在中，，，，且，设 ，. (1)用、表示、； (2)求的值. 必会题型二：利用平面向量基本定理求值 1．（湖南省名校联盟2023届高三下学期2月质量检测数学试题）在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）在△ABC中，O为重心，D为BC边上近C点四等分点，，则m＋n＝（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2022秋·江西宜春·高二