8.2 立体图形的直观图（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)

8.2 立体图形的直观图 重点：用斜二测画法画平面多边形及空间几何体的直观图； 难点：能用斜二测画法画出简单空间图形（长方形、球、圆柱、圆锥、棱柱及简单组合体）的直观图。 一、空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。 二、立体图形的直观图的画法 1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图． 斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． （1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或 （2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变； 平行于轴的长度变成原来的一半， 2、平面图形直观图的画法及要求 第一步建系：在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点， 画直观图时，把他们弧长对应的轴和轴，两轴相交于， 且使（或），它们确定的平面表示水平面； 第二步平行不变：已知图形中平行与轴和轴的线段， 在直观图中分别画出平行与轴或轴的线段； 第三步长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度变为原来的一半， 3、空间几何体直观图的画法 （1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴； （2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； （3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 4、直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变。 “三不变”：（1）平行性不改变；（2）与轴和轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变。 三、直观图与原图多边形面积之间的关系 若一个多边形的面积为，它的直观图的面积为，则有， 举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为，高为， 则其面积为， 在直观图中，，， 在直观图中， 题型一 斜二测画法概念辨析 【例1】（2022·高一课时练习）关于斜二测画法，下列说法错误的是（ ） A．平行直线的直观图仍然是平行直线 B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线 C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的 D．线段的中点在直观图中仍然是中点 【变式1-1】（2022·高一课时练习）对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（ ） A．三角形的直观图仍然是一个三角形 B．的角的直观图会变为的角 C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半 D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 【变式1-2】（2022·高一课时练习）根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为（ ） A．90°，90° B．45°，90° C．135°，90° D．45°或135°，90° 【变式1-3】（2023·高一课时练习）利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是（ ） A．① B．①② C．③ D．①②③④ 题型二 画几何图形的直观图 【例2】（2022·高一课时练习）用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·高一课时练习）如图，等腰梯形ABCD上底，下底，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图. 【变式2-2】（2023·高一课时练习）用“斜二测”法画出边长为2cm的正三角形的直观图. 【变式2-3】（2022·高一课时练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5． 题型三 由直观图还原几何图形 【例3】（2023·高一课时练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，是的直观图，其中，，那么是一个（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 【变式3-2】（2022春·河北沧州·高一沧县中学校考期中）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（