2023年中考数学拔高训练——二次根式的混合运算

2023年中考数学拔高训练——二次根式的混合运算 一、综合题 1．计算： （1）已知 ，求代数式 的值； （2）已知 ， ，求代数式 的值. 2．已知直角三角形的两直角边长分别为（2＋）和（﹣2）． （1）求这个直角三角形的面积． （2）求这个直角三角形的斜边长． 3．计算： （1） ＋ × ＝　 　； （2）(4＋ )(4－ )＝　 　. 4．先观察下列的计算，再完成练习． （1）； （2）； （3）． 请你分析、归纳上面的解题方式，解决如下问题： （1）化简：； （2）已知n是正整数，求的值： （3）计算：． 5．如图所示，两个等腰直角三角形拼成一个四边形，已知AB= ，求： （1）△ABD的面积． （2）四边形ABCD的周长． 6．计算： （1）； （2）． 7．阅读下列材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一） ； （二） ； （三） ． 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）请用不同的方法化简： ①参照（二）式化简＝　 　． ②参照（三）式化简＝　 　 （2）化简：． 8．阅读下列解题过程： ， ， 请回答下列回题： （1）观察上面的解答过程，请写出 　 　 ； （2）请你用含n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的解法，请化简： 9． （1）（ ＋ ）2﹣（3 ＋2 ）（3 ﹣2 ）； （2）已知点A（a，﹣3）与点B（5，b）关于x轴对称，求a＋b的值． 10．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 化简： ， 则 ， ， （1）请直接写出下列式子的值： 　 　； 　 　． （2）请利用材料给出的结论，计算： 的值； （3）请利用材料提供的方法，计算 的值． 11．像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． （1）请写出以下代数式的一个有理化因式：　 　，　 　； （2）化简：； （3）当时，直接写出代数式的最大值：　 　． 12．小明在解决问题：已知a＝ ，求2a2－8a＋1的值，他是这样分析与解答的： 因为a＝ ＝ ＝2－ ， 所以a－2＝－ . 所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3. 所以a2－4a＝－1. 所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算： = 　 　－ 　 　. （2）计算： ＋…＋ ； （3）若a＝ ，求4a2－8a＋1的值. 13．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab= -3 ，求．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． （1）计算：； （2）m 是正整数， a =，b =且．求 m． （3）已知，求的值． 14．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化商： ， ， 以上这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简： ； （2）若a是 的小数部分，求 的值； （3）已知长方形的面积为 ，宽为 ，求它的长． 15．阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简 ． 解：将分子、分母同乘以 得： ． （1）类比应用： ①化简： 　 　； ②化简： 　 　． （2）拓展延伸：宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形． 如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1． ①求黄金矩形ABCD的长BC； ②如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论； ③在图②中，连结AE，求点D到线段AE的距离． 16．先阅读下列解答过程，再解答． （1）形如 的化简，只要我们找到两个数 、 ，使 ， ， 即 ， ，那么便有： ． 例如：化简 ． 解：只要我们找到两个数 、