2023年中考数学专题训练——相似三角形与圆的综合运用

2023年中考数学专题训练——相似三角形与圆的综合运用 一、综合题 1．已知⊙O是边长为3的正∆ABC的外接圆，点P为弧AC上一点． （1）如图1，当BP恰为⊙O的直径时，求BP的长； （2）如图2，点M在线段BP上，点N在线段CP上，且BM＝CN，连接CM，MN，若∠CMN＝30°，求CM2＋MN2的值； （3）如图3，延长CP交BA延长线于点E，连接AP并延长交BC延长线于点F．请判断PE·PF是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由. 2．已知等边△ABC的边长为2，点D为边BC的中点，以点A为圆心的圆交边AC于点E（点E不与点A、C重合）， （1）如果圆A与线段BC有公共点，求线段AE的取值范围； （2）如果射线DE与线段BA的延长线交于点F， ①设AE=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； ②当S△CDE＝S△AEF时，求线段AE的长． 3．如图，钝角△ABC中，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，点D为优弧上一点（不与B，C重合），连接AD，CD，AD交BC于点E， △ACD的内心F恰好落在BC上． （1）求证：AB∥CD； （2）连接AF，求证：AB＝BF； （3）若BE＝4，CE＝5，求CF的长． 4．如图⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF. （1）求证：直线PA为⊙O的切线； （2）求证：AC2=4OD·OP； （3）若BC=6，，求AC的长. 5．如图， 是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点，连接BD，CD，过点D作DP∥BC与AC的延长线交于点P． （1）求证：△ABD∽△ADP （2）求证：DP是⊙O的切线； （3）当AB＝5cm，AC＝12cm 时，求线段PC的长． 6．如图，点O是平面直角坐标系的原点，P是反比例函数（k > 0，x >0）图象上的动点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A，B，连接AB． （1）求△OAB的面积； （2）当 k =4时，求线段AB的最小值； （3）在（2）的条件下，点C是反比例函数图象上的一点（不与点P重合），连接PC，AC．当∠ACP 是直角时，求点C横坐标的近似值（结果保留一位小数）． 7．如图，四边形ABCD为⊙O的圆内接四边形，AC=AD，点B为的中点，点E为AC上一点，且，F为直径AG的延长线上一点，且∠FDG=∠FAD. （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若∠BCA=55°，∠BAC=15°，求∠F的度数； （3）若AC=AD=a，求的最大值（用含a的式子表示）. 8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点BD交AC于点E. （1）若，求. （2）求证：AD2＝DE•DB. （3）若BC＝5，CD＝，求DE的长. 9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，B是y轴正半轴上的一个动点，以OA为直径作圆，交AB于点C. （1）求证：△AOB∽△ACO； （2）当∠OAB=30°时，求点C到x轴的距离； （3）求 的最大值. 10．如图所示，在中，点O在斜边上，以O为圆心，为半径作圆O，分别与、相交于点D、E，连接，已知. （1）求证：是的切线； （2）若，，求劣弧的长； （3）若，，求的长. 11．如图，在 中， ，将 沿直线 翻折得到 ，连接 交 于点 . 是线段 上的点，连接 . 是 的外接圆与 的另一个交点，连接 ， . （1）求证： 是直角三角形； （2）求证： ； （3）当 ， 时，在线段 上存在点 ，使得 和 互相平分，求 的值. 12．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AC=13，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E. （1）求证：CB是∠ECA的角平分线； （2）求DE的长； （3）求证：BE是⊙O的切线. 13．已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E. （1）求证：AC·AD=AB·AE； （2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长. 14．如图1，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点E，BD平分∠ABE交AC于F，交圆O于点D，且∠BDE=∠CBE. （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）如图2，延长ED交直线AB于点P，若PA=AO，DE=2，求 的值及AO的长. 15．如图，已知，矩形ABCD中，F是对角线BD上一点，以F为圆心，FB为半径作圆与边AD相切于E，边AB与圆F交于另一