第4讲 正比例和反比例-2022-2023学年六年级数学下册典题精讲专项讲义（北师大版）

第4讲 正比例和反比例 （思维导图+知识梳理+典型精讲+易错专练） 知识点一：正比例 1、正比例的意义:两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以表示为=k(一定)。 2、应用正比例的意义判断两种量是否成正比例:有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例。 知识点二：反比例 1、反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积(一定)，反比例关系可以表示为x·y=k(一定)。 2、判断两个量是不是成反比例。 要先想这两个量是不是相关联的量;再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定;最后作出结论。 考点一：小数除以整数 【典型一】下列不成正比例关系的是（    ）。 A．速度一定，路程和时间 B．圆的周长和直径 C．看一本书，已看的和没看的 D．三角形高一定，它的面积和底 【分析】根据成正比例关系的意义判断。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 【详解】A.，速度一定，路程和时间成正比例； B．，圆的周长和直径成正比例； C．已看的页数＋没看的页数＝一本书的页数，已看的和没看的不成比例； D．，三角形高一定，它的面积和底成正比例。 故答案为：C 【点睛】熟知正比例关系的含义是解题的关键。 【典型二】x与y成正比例关系。将下表补充完整。 x 3 ( ) 10 ( ) y 1.8 ( ) 1.2 ( ) 2.7 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，用字母表示＝k（一定），根据x＝3，y＝1.8求出比值后，计算填表即可。 【详解】1.8÷3＝0.6 ×0.6＝ 1.2÷0.6＝2 10×0.6＝6 2.7÷0.6＝4.5 【点睛】此题考查正比例的意义，根据成正比例关系求出一定的比值0.6是解题的关键。 【典型三】圆的半径与它的面积变化情况如表。 半径 1 2 3 4 5 面积 3.14 12.56 28.26 （    ） （    ） （1）把上表填完整。 （2）上表中哪些量在发生变化？ （3）圆的面积是如何随着半径的变化而变化的？ 【分析】根据圆的面积计算公式，代入数据计算；观察表格，可以发现表中的半径和面积均在变化，依据圆的面积计算公式可知（一定），据此进行分析即可。 【详解】（1）（平方厘米） （平方厘米） 统计表如下： 半径 1 2 3 4 5 面积 3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 （2）表中半径和面积都在变化。 （3）圆的面积与半径的平方的比值为（一定）， 所以圆的面积与半径的平方成正比例， 即圆的面积随着半径的平方的变化而变化。 【点睛】本题考查了圆的面积与半径之间的关系。判断的关键在于掌握圆的面积计算公式。 【典型四】下面是小红和同学用自制的皮筋称量物体质量的统计表。 所称质量/g 0 200 400 600 800 1000 皮筋伸长长度/cm 0 2 4 6 8 10 （1）把上表中所称质量与皮筋伸长长度所对应的点描在方格纸上，并顺次连接。 （2）皮筋伸长长度与所称质量成什么比例？为什么？ （3）小红用这根皮筋称一个物体，皮筋伸长15厘米，求这个物体的质量。 【分析】（1）在表格里依次描出各点，再进行连线即可； （2）判断两个量成什么比例，是看这两个量的比值一定还是乘积一定，比值一定时成正比例，乘积一定时成反比例，据此解答； （3）先根据表中数据确定皮筋每伸长1厘米时对应的质量，再结合伸长15厘米求出质量即可。 【详解】（1）如图： （2）＝100，＝100，＝100… 由此可见，筋伸长长度与所称质量之间比值一定，所以成正比例； 答：皮筋伸长长度与所称质量成正比例，因为筋伸长长度与所称质量之间比值一定。 （3）200÷2×15 ＝100×15 ＝1500（克） 答：这个物体的质量为1500克。 【点睛】本题主要考查统计图表的填充，以及对正比例的辨识，关键要会根据所给的数据完成统计图并