第二讲 线段的垂直平分线与角平分线 2022-2023学年北师大版八年级数学下册

第二讲 线段的垂直平分线与角平分线 考点一：线段的垂直平分线性质与判定 知识点 性质 判定 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． ①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　 ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 必须同时满足 （1） 直线过线段中点; （2）直线⊥线段 作图方法 （1）尺规作图法 a. 分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点(两交点交于线段的两侧) b. 连接这两个交点  （2）度量法 （3）折纸法（折叠法） 三角形三边垂直平分线性质 三角形三条垂直平分线的交点叫外心,外接圆圆心,外心到三个顶点的距离是相等的 锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外 例1、如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线． （1）BD=　　； （2）若∠B=40°，则∠BAC=　　，∠DAB=　　，∠DAC=　　， ∠CDA=　　； （3）若AC=4，BC=5，则DA+DC=　　，△ACD的周长为　　． 例2、．如图，AC=AD，BC=BD，那么下列判断正确的是（　　） A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分∠ACB D．∠ACB=∠ADB=90° 例3、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，如果BC=4，AC=2，那么△ADC的周长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 例4、 如图点P为△AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交0A于M，交OB于N，若P1P2=15，则△PMN的周长为____。 例5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F。求证：点E在AF的垂直平分线上. 考点二：角平分线的性质及判定 知识点 性质 证明过程 ①∠AOC=∠BOC ②角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 证明1：∵OC平分∠AOB ∴①∠AOC=∠BOC 证明2：∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA， CE⊥OB∴CD=CE 角平分线的判定 判定1 判定2 已知DE⊥AB，DF⊥AC，AE=AF， 求证AD是∠BAC的平分线 （1） ∵DE⊥AB，DF⊥AC，AE=AF 所以在RT△AED和RT△AFD中 ∴△AED≌△AFD, ∠1=∠2, ∴AD是∠BAC的平分线 已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，求证AD是∠BAC的平分线（2）∵已知DE⊥AB，DF⊥AC，又∵DE=DF， ∴AD是∠BAC的平分线 尺规作角平分线 作法： （1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N． （2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C． （3）作射线OC，射线OC即为所求． （4）这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明． 例6、 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 例7、 如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例8、下列关于作图的语句正确的是（　　） A．作∠AOB的平分线OE=3 cm B．画直线AB=线段CD C．用直尺作三角形的高是尺规作图 D．已知A、B、C三点，过这三点不一定能画出一条直线 例9、如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（　　） A．三角形两边高线的交点处 B．三角形两边中线的交点处 C．∠α的平分线上 D．∠α和∠β的平分线的交点处 例10、 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长． 课堂训练 1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 2．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN