专题8.11 空间直线、平面的垂直（一）（重难点题型精讲）-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题8.11 空间直线、平面的垂直（一）（重难点题型精讲） 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 2．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫 做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 3．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 4．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. 5．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 6．点在平面内射影位置的确定 立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定. (1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上. (2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线. 【题型1 异面直线所成的角】 【方法点拨】 (1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的 角. (2)证明：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角度(常利用三角形的有关知识). (4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就 是所求异面直线所成的角. 【例1】在三棱锥中，平面ABC，且，，E，F分别为BC，PA的中点，则异面直线EF与PC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·安徽·高二开学考试）如图，已知等腰直角三角形的斜边的中点为，且，点为平面外一点，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·贵州毕节·统考一模）图（1）是由正方形和正三角形组合而成的平面图形，将三角形沿折起，使得平面平面，如图（2），则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·河南郑州·统考一模）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【题型2 线线垂直的判定】 【方法点拨】 通过异面直线所成的角为，来证明线线垂直； 通过基本的平面图形的几何性质来实现线线垂直的探索； 通过线面垂直的关系来证明线线垂直. 【例2】（2022·高一课时练习）在正方体中，与垂直的直线是（    ） A．AB B．CD C． D． 【变式2-1】（2022·高一课时练习）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（    ） A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 【变式2-2】（2022·高一课时练习）如图，为所在