专题3.4 乘法公式-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学下册同步精品讲义（浙教版）

专题3.4 乘法公式 1、学会利用平方差公式、完全平方公式进行运算； 2、掌握完全平方公式在几何图形中的应用； 3、掌握整式的混合运算； 知识点01 运用平方差公式进行运算 【知识点】 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 【典型例题】 例1．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如，，即8，16均为“和谐数”），在不超过100的正整数中，所有的“和谐数”之和为（    ） A．614 B．624 C．634 D．642 【答案】B 【分析】根据，确定小于100的“和谐数”，再求和，根据计算结果的规律性，可得出答案． 【详解】解：依题意设连续的两个奇数为， ∴ 解得： ， 在不超过100的正整数中，所有的“和谐数”之和为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查平方差公式，理解“和谐数”的意义是解决问题的前提，得出计算结果的规律性是解决问题的关键． 例2．（2023春·七年级课时练习）若，则m=______，n=______． 【答案】     4     8 【分析】根据平方差公式，进行乘法运算，找到m、n的值便可求解． 【详解】解： 故答案为：4，8． 【点睛】本题考查平方差公式，熟练运用平方差公式是解题的关键． 例3．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形． (1)【探究】 ①请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积__________；__________； ②比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________（用字母表示）； (2)【应用】请应用这个公式完成计算：． 【答案】(1)①；；②； (2)3999999． 【分析】（1）①、图①阴影部分的面积为两个正方形面积的差，图②阴影部分的面积是长为，宽为的长方形面积； ②、图①阴影部分的面积和图②阴影部分的面积相等，即可列出式子； （2）将转化为，根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：①、在图①中： 大正方形的面积为，小正方形的面积为， 阴影部分的面积为：； 在图②中： 阴影部分为长方形，且长为，宽为， 阴影部分的面积为：； ②、图①阴影部分的面积和图②阴影部分的面积相等， 可得到乘法公式：； （2）原式． 【点睛】本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，用代数式表示阴影部分的面积是得出平方差公式的关键． 【即学即练】 1．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 2．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和融数”，如：因为，所以称20为“和融数”，下面4个数中为“和融数”的是（    ）． A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】C 【分析】设这两个连续奇数为n，，应用平方差公式进行计算可得，代入计算n的值，即可得出答案． 【详解】解：设这两个连续偶数为n，， 则， A．，解得，n不是偶数，故不符合题意； B．，解得，n不是偶数，故不符合题意； C．，解得，n是偶数，故符合题意； D．，解得，n不是偶数，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式进行求解是解决本题的关键． 3．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）小丽在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似的方法计算：___________． 【答案】2 【分析】根据平方差公式解决此题． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键． 4．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）计算：______． 【答案】3 【分析】将原式变形为，再根据平方差公式计算即可． 【详解】 故答案为：3 【点睛】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是掌握平方差公式，并熟练运用．