专题05 条件概率与全概率公式（课件+讲义）-2022-2023学年高二数学新教材同步考点巩固与难点提升（人教A版2019选择性必修第三册）

专题05条件概率与全概率公式 复 习 概念复习 技巧复习 巩 固 考点一：利用定义求条件概率 考点二：缩小样本空间求条件概率 考点三：条件概率的性质及应用 考点四：全概率公式 考点五：多个事件的全概率问题 考点六：贝叶斯公式及其应用 提 升 难点一：条件概率综合问题 难点二：不放回抽签问题 难点三：有放回抽签问题 难点四：文化素养综合问题 难点五：全概率综合问题 难点六：贝叶斯公式应用 小测 单选：共6题 多选：共2题 填空：共2题 解答：共3题 一、复习 【概念复习】 1.条件概率： （1）.若已知事件A发生，则A成为样本空间.此时事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即P(B|A)＝. （2）一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. （3）当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B). （4）由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，我们称此式为概率的乘法公式. 2.性质：条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)若B和C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A). 3.全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai). 4.贝叶斯公式(选学)：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有 P(Ai＝ ＝，i＝1，2，…，n. 【技巧复习】 1.利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A). (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生. 2.利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的样本点. (3)算：利用古典概型求P(B|A)＝，n(AB)与n(A)是缩小样本空间的计数. 3.利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求条件概率，应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”. 4.为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，再用加法公式. 5.两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与). (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2). 6.“化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝P(Ai)P(B|Ai). (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 7.公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系. 8.P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重. 二、巩固 【考点一】利用定义求条件概率 【典例】有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________。 【解析】记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9。故P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.72。 【变式】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求 ①第1次抽到舞蹈节目的概率； ②第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； ③在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率。 【解析】设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB。 ①从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A＝30。 根据分步乘法计数原理，有n(A)＝AA＝20，所以P(A)＝＝＝。 ②因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝