5.3.2.1函数的极值课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2.1函数的极值 李若男 1、导数的几何意义是什么？ 切线的斜率 2、如何利用导数研究函数的单调性？ （1）在某个区间（a，b）内，若f′（x）>0，则f（x）在（a，b）上是增函数。 （2）在某个区间（a，b）内，若f′（x）＜0，则f（x）在（a，b）上是减函数。 复习巩固 情境导入 这是江西庐山群山叠嶂的景象。苏轼在《题西林壁》中这样写道：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的就是庐山的高低起伏，错落有致。在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不是群山的最高处，但它却是其附近的最高点。 那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？ 情境导入 思考1：从单调性的变化来看，图中哪些 点比较特殊？ 思考2：这些点处的函数值有什么共同特征？ 局部最值——极值 思考3：这些点处的导数值是多少？ 思考4：这些点附近，导数的正负性有什 么规律？（以h,i两点附近的导数为例） 探究与发现 概念生成 如图，函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小， ；而且在点 附近的左侧 ，右侧 ，则把点 叫作函数 的极小值点， 叫作函数 的极小值. 函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大， ；而且在点 附近的左侧 ，右侧 ，则把点 叫作函数 的极大值点， 叫作函数 的极大值. 概念生成 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。 注：1、极值点不是点，而是该极值的横坐标的数值。 2、极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的 特征。 局部 概念巩固 问题1：极大值点是 。 极大值是 。 极小值点是 。 极小值是 。 问题2：极大值一定大于极小值吗？ 不一定。极大值和极小值没有必然的联系（局部性质）。 问题3：函数的极值唯一吗？ 不唯一。可能有多个，可能不存在。 e、g、i f(e)、f(g)、f(i) d、f、h f(d)、f(f)、f(h) 概念应用 例1、判断下列函数是否有极值，如果有，说出是极大值还是极小值。 1、=2 2、=x 3、=-x2+3x-5 4、=sinx 无极值 无极值 有极大值 有极大值和极小值 例题讲解 例2、求函数x3-x+4的极值。 概念理解 a b 左减右增极小值 左增右减极大值 左负右正极小值 左正右负极大值 例题讲解 例2、求函数x3-x+4的极值。 概念巩固 练习：求函数 y=3x3-x+1的极值。 [解析] ，令 ，解得 ， . 当 变化时， 和 的变化情况如表所示： + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此，当 时， 有极大值，极大值为 ； 当 时， 有极小值，极小值为 . 方法总结 1、图像法判断函数的极值 2、概念法判断函数的极值： （1）确定函数的定义域，求导数 ； （2）求方程 的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．检测 在方程根左、右两侧的值的符号，如果左正右负，那么 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 在这个根处取得极小值；如果左、右不改变符号，那么 在这个根处无极值． 课后作业 1、思考：p：可导函数y=f(x)在a点处取得极值 q:=0 p是q的什么条件？ 2、课时作业（十九）