6.2.1 排列-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）

直线 6.2.1 排列 复习导入 在上节例8的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得繁琐.能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢？为此，先来分析两个具体的问题. l 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 此时,要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤： 第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种选法； 第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法. 新知探索 l 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为 .这6种不同的选法如图所示. 如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：从3个不同的元素中任取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 所有不同的排列方法是 不同的排列方法种数为. 新知探索 l 问题2：从这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决这个问题： 第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法； 第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法； 第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法. 新知探索 l 问题2：从这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为. 因而共可得到24个不同的三位数，如图所示. 由此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432. 新知探索 l 同样，问题2可以归结为：从4个不同的元素中任意取出3个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 所有不同的排列是： 不同的排列方法种数为 新知探索 l 思考1：上述问题1，2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？ 问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数. 一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 新知探索 l 根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.例如，在问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列；“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.又如，在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列，123与132虽然元素相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列. 新知探索 答案：×，√. 辨析1.判断正误. (1)1，2，3与3，2，1为同一排列.( ) (2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现.( ) 辨析2.下列问题属于排列问题的是( ). ①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算. A.①④ B.①② C.③④ D.①③④ 答案：A. 例析 例1.某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？ l 解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5只队中选一支为客队.按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为 例析 例2.(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ (2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ l 解：(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，