9.4 向量的应用-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

9.4 向量的应用 一、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 二、利用向量证明平面几何的两种经典方法及步骤： 1、线性运算法 （1）选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； （2）利用基底表示相关向量； （3）利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； （4）把计算结果“翻译”为几何问题。 2、坐标运算法 （1）建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； （2）把相关向量坐标化； （3）用向量的坐标运算找到相应关系； （4）利用向量关系回答几何问题。 三、向量在物理中的应用主要解题思路分四步 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 四、力学问题的向量处理方法 1、解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； 2、向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。 五、速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 1、向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； 2、用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。 六、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。 题型一 利用向量证明线段垂直 【例1】（2021·高一课时练习）如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：. 【变式1-1】（2023·高一课时练习）在中，已知A、B、C三点的坐标分别为、、，求证：是直角三角形． 【变式1-2】（2023·全国·高一课时练习）已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且四边形PFCE为矩形．求证：且 【变式1-3】（2022·高二课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：. 题型二 利用向量证明线段平行 【例2】在中，点，分别在线段，上，，.求证：. 【变式2-1】（2021春·高一课时练习）如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：． 【变式2-2】（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形． 题型三 利用向量求线段长度 【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是___________ 【变式3-1】中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（ ） A． B．3 C． D． 【变式3-2】如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 【变式3-3】（2022·高二课时练习）已知为等边三角形，，所在平面内的点满足的最小值为____________． 题型四 利用向量求几何夹角 【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知平面四边形中，，，，，，则_______. 【变式4-1】（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知H为的垂心，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2022·高二课时练习）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． （1）求和的值； （2）若，，，求与所成角的余弦值． 题型五 利用向量判断多边形形状 【例5】（2022·高一单元测试）已知非零向量和满足，且，则为( ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形 【变式5-1】（2022春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）满足的△ABC（ ） A．一定为锐角三角形