8.1.2 向量数量积的运算律-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第三册)

8.1.2 向量数量积的运算律 一、平面向量数量积满足的运算律 （1）； （2）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 二、求平面向量数量积的方法 1、定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件； 2、运算律转化法：由可得如下运算公式：；；； 3、利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。 题型一 求向量的数量积 【例1】（2022·高一课时练习）已知，，且向量与的夹角为120°，则______. 【变式1-1】（2022秋·安徽黄山·高一统考期末）已知向量，，满足，，，，，则_________. 【变式1-2】（2022秋·重庆永川·高一重庆市永川中学校校考阶段练习）如图，点O为内一点，且，，，则______ 【变式1-3】（2022秋·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则__. 题型二 求向量的模长 【例2】（2023·高一课时练习）若，，和的夹角为135°，求的值． 【变式2-1】（2022秋·山东淄博·高一统考期末）已知，．若，则（ ） A． B． C．2 D．4 【变式2-2】（2023春·北京昌平·高一统考期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________. 【变式2-3】（2022秋·辽宁·高一校联考期末）已知向量满足，则的最小值为___________. 题型三 求向量的夹角 【例3】（2023·高一课时练习）已知，，，则______． 【变式3-1】（2022秋·重庆北碚·高一西南大学附中期末）已知向量，满足，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022秋·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）已知，是平面内互相垂直的单位向量，且，，则与夹角余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2021秋·河北邯郸·高一校考期中）已知，，. （1）求 与 的夹角 ； （2）求 与 的夹角的余弦值． 题型四 向量垂直及应用 【例4】（2023·高一课时练习）已知与是非零向量，且，则是与垂直的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 【变式4-1】（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）若非零向量、满足，且，则向量、的夹角为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2022·高一课时练习）已知向量满足,，与的夹角为，，则_______． 【变式4-3】（2022·高一课时练习）已知向量，不共线，向量，，. （1）若，求实数k的值； （2）若，为相互垂直的单位向量，且，求实数t的值. 【变式4-4】（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.2 向量数量积的运算律 一、平面向量数量积满足的运算律 （1）； （2）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 二、求平面向量数量积的方法 1、定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件； 2、运算律转化法：由可得如下运算公式：；；； 3、利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。 题型一 求向量的数量积 【例1】（2022·高一课时练习）已知，，且向量与的夹角为120°，则______. 【答案】-268 【解析】 . 【变式1-1】（2022秋·安徽黄山·高一统考期末）已知向量，，满足，，，，，则_________. 【答案】6 【解析】由，得， 两边平方