2023年中考九年级数学高频考点 专题训练- -相似三角形的综合题

2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--相似三角形的综合题 一、综合题 1．如图， 内接于 ， 为直径，作 交 于点 ，延长 ， 交于点 ，过点 作 的切线 ，交 于点 （1）求证： ； （2）如果 ， ，求弦 的长． 2．如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒． （1）当为何值时，的面积等于？ （2）当为何值时，的长度等于？ （3）探究经过多少秒后，以点，，为顶点的三角形与相似？ 3．如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F． （1）若AP ，求DE的长； （2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长； （3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由． 4．如图，已知二次函数的图象经过点，且与x轴交于原点及点，点A为抛物线的顶点. （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标.如果不存在，请说明理由； （3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值. 5．如图，已知 ， 是 的平分线，A是射线 上一点， .动点P从点 出发，以 的速度沿 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以 的速度沿 竖直向上作匀速运动.连接 ，交 于点B.经过O、P、Q三点作圆，交 于点C，连接 、 .设运动时间为 ，其中 . （1）求 的值； （2）是否存在实数t，使得线段 的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由. （3）求四边形 的面积. 6．如图，已知抛物线y= x2﹣ （b+1）x+ （b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C． （1）点B的坐标为　 　，点C的坐标为　 　（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 7． （1）（基础巩固） 如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B.求证：AC2＝AD•AB. （2）（尝试应用） 如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A.若BF＝4，BE＝3，求AD的长. （3）（拓展提高） 如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝ ∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长. 8．矩形AOBC中，OB＝8，OA＝4.分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝ （k＞0）的图象与边AC交于点E. （1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标； （2）连接EF、AB，求证：EF∥AB； （3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式. 9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y= x+ ． （1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标； （2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？ （3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）； i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转， 始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由； ii：试求出此旋转过程中，（NA+ NB）的最小值． 10．如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，顶点为 .，直线 交 轴