4.3.1 等比数列的概念（第2课时）-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

等比数列的概念 授课人：XXX 第四章 数列 第4.3.1节 第2课时 学习目标 掌握等比数列的有关性质，能够利用等比数列的性质解决一些实际问题. 能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题 ． 核心素养 数学抽象 等比数列的性质. 数学运算 等差数列性质的应用. 数学建模 运用等比数列解决实际问题. 知识回顾 等比数列的概念 等比数列的概念 等比中项 通项公式 等比数列与指数型函数的关系 Part 01 等比数列的性质 例题解析 例1 已知数列的首项. （1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； 证明： （1）由，，得的通项公式为 设，则 又 所以， 是以27为首项，9为公比的等比数列. 例题解析 例1 已知数列的首项. （2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列. 证明： （2）由，，得 两边取以3为底的对数，得 又 所以， 是以1为首项，为公差的等差数列. 所以 问题探究 问题1 已知且，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？ 证明： ①设等差数列的首项为，公差为，则 所以，数列是以为首项， 为公比的等比数列. 问题探究 问题1 已知且，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？ 证明： ②设各项均为正的等比数列 的首项为，公比为，则 所以，数列是以为首项，为公差的等差数列. 等比数列的性质 如果数列是等差数列，那么数列一定是等比数列. 如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列 一定是等差数列. 等比数列的性质： 等比数列的性质 问题2 知道了等差数列与等比数列之间的联系，就能方便地把等差数列的一些性质迁移到等比数列中. 例如，在等差数列中，对于正整数，若，则. 那么，对于各项均为正数的等比数列，又有怎样的结论呢？ 等比数列的性质 ∵ 数列是各项均为正的等比数列， ∴ 数列 是等差数列. ∵ ， ∴ ， 即 ， 于是 . 设数列为等比数列，若，则 . 等比数列的性质 进一步地，我们还可以对此结论加以证明. 证明： 设等比数列 的公比为，由 可得 所以 因为 ，所以 此性质并不需要数列的各项均为正数. 等比数列的性质 等比数列的项与序号的关系： 设数列为等比数列，若，则. 特别地，当，则. 对于有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即. Part 02 等比数列的实际应用 例题解析 例2 用10000元购买某个理财产品一年. （1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到0.01元)？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到)？ 什么是复利？ 复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息. 例题解析 若原始本金为元，每期的利率为， 1个月后的本利和 2个月后的本利和 3个月后的本利和 各期的本利和构成等比数列. 可建立以为首项，以为公比的等比数列模型. 12个月能获得的利息等于12个月的本利和本金，即. （1）分析： 例题解析 解： （1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列， 则是等比数列，首项，公比 所以，12个月后的利息为 （元） 例题解析 4个季度的本利和 4个季度能获得的利息 . （2）分析： 原始本金为元，季度利率为，首项为，公比为. 若以季度复利计息，各季度的本利和依然构成等比数列. 设这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列， 按季结算的利息不少于按月结算的利息 . 例题解析 解： 则也是一个等比数列，首项，公比为， 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元 （2）设季度利率为， 这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列， 解不等式 ，得 所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 解题方法 构建等比数列模型； 明确等基本量； 一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解. 利用求解； 还原为实际问题. 注意 建立等比数列模型后，要看清该数列的首项、公比，并且要厘清所求值与该数列哪个量有关联. 例题解析 例3 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 例题解析 分析： 由于去年12月的产量为1050个，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%， 1月的产量