4.3.1 等比数列的概念（第1课时）-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

等比数列的概念 授课人：XXX 第四章 数列 第4.3.1节 第1课时 学习目标 通过生活中的实例，理解等比数列、等比中项的概念. 掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题． 体会等比数列与指数函数的关系. 核心素养 数学抽象 等比数列与指数函数的关系. 逻辑推理 能够应用定义判断一个数列是否为等比数列. 数学运算 等比数列的通项公式及运用. 课程导入 我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ Part 01 等比数列的概念 案例1 问题探究 请看下面几个问题中的数列. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： ； ① ； ② . ③ 案例2 问题探究 请看下面几个问题中的数列. 《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 . ④ 案例3 问题探究 请看下面几个问题中的数列. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 . ⑤ 案例4 问题探究 请看下面几个问题中的数列. 某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 . ⑥ 问题探究 问题1 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 对于数列① ，我们发现 如果用表示数列①，那么有 这表明，数列①有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9. 问题探究 数列②~⑥也有这样的取值规律. . ② . ③ . ④ . ⑤ . ⑥ 等比数列的概念 问题2 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等差数列的公比，公比通常用字母表示. 符号语言 或 . 等比数列的概念 问题3 等差数列的公差的取值范围为，那等比数列的公比的取值范围是什么？ 由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能为分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0. 所以公比可正，可负，但不能为0，它是一个与无关的非零常数. 等比数列的概念 当时，等比数列是常数列，若一个数列的每一项均是相同的非零常数，则这个数列既是等比数列，又是等差数列. 如： 当时，数列各项同号； 当时，所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同. 如. 等比数列的概念 问题4 若数列满足，那么是等比数列吗？ 不一定. 当时，按所给递推关系式，该数列为常数列，且常数为0，此时不是等比数列. 若是等比数列，则一定有，反之不成立，即满足的数列不一定是等比数列. 等比中项 问题5 在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？ 与等差中项类似，如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项. 此时，，即. 注意 两个正数(或两个负数)的等比中项有两个，它们互为相反数. 符号相反的两个实数不存在等比中项. 等比中项 问题6 为与的等比中项的充要条件是吗？为什么？ 不是. 为与的等比中项时，必有，反之不成立. 如，，满足，而不成等比数列. 当时，是充要条件. 等比中项 等差中项与等比中项的区别： 任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； 任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数. Part 02 等比数列的通项公式 问题探究 问题7 回忆一下，如何根据等差数列的定义推导它的通项公式？ 于是 归纳可得 当时，上式也成立. 设一个等差数列的首项为，公差为. 首项为，公差为的等差数列的通项公式为 归纳法 问题探究 问题8 类比上述推导方法，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等比数列的公比为，根据等比数列的定义，可得 所以 等比数列的通项公式 归纳可得 又 ， 这就是说，当时上式也成立. 因此，首项为，公比为的等比数列的通项公式为 等比数列的通项公式 问题9 除了归纳法外，我们还用了什么方法来推导等差数列的通项公式呢？能用类似的方法来推导等比数列的通项公式吗？ 等差数列 累加法 等比数列 累乘法 ， ， . 将这个式子两边分别相乘，得 所以 等比数列的通项公式 对等比数列的通项公式的认识 等比数列中的任一项均可用首项和公比表示，