5.3　三角函数的诱导公式

5.3三角函数诱导公式 1 由三角函数定义可得(诱导公式一) 终边相同的角的三角函数的值相等. 注意：(1)利用公式一，可以把任意角的三角函数值转换为 0°到360°角的三角函数值。 (2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现。 一、复习回顾 x y O 1 -1 30º 150º -30º x y O 1 -1 210º 30º M1 P1 P2 M2 sin1500＝ ;sin(－300)= ;sin2100=___ sin30º= ； 二、基础知识讲解 150º -30º x y O 1 -1 210º 30º M1 P1 P2 M2 210o =180o+30o 150o =180o-30o x y O 1 -1 30º 思考：以上几个角的三角函数值都与300的三角函数值什么关系?这些角的终边与300角的终边又有何关系? 二、基础知识讲解 p＋a p-a x y O 1 -1 a 关于y轴对称 -a x y O 1 -1 a 关于x轴对称 思考1：分别与角a的终边关于原点、y轴、x轴对称的角如何用角a 进行表示？ 它们的三角函数值之间有什么关系？ x y O 1 -1 a 关于原点对称 二、基础知识讲解 x y O 1 -1 p+a a P (x,y) P’ (-x,-y) 问题1：角α的终边与单位圆交于点P(x, y)， 则sinα= ？ cosα= ？ tanα= ？ y x 问题2： 设π＋α交单位圆于P′，则P′坐标是什么？ 公式二： α与π＋α的终边关于原点对称 推导π＋α的诱导公式： y O 1 -1 a -a 公式三： α与－α关于x轴对称 sinα=y cosα=x tanα= sin(-α)= cos(-α)= tan(-α)= -y x 推导-α的诱导公式： x P(x,y) x y O 1 -1 a π-a P(x,y) 公式四： α 与π-α关于y轴对称 sin(π-α)= cos(π-α)= tan(π-α)= y -x sinα=y cosα=x tanα= P′(-x,y) 推导 π –α 的诱导公式： 公式二： 公式三： 公式四： 公式一： 三角函数的诱导公式 （α 可以是任意角） 二、基础知识讲解 函数名不变，符号看象限！ “符号看象限”是指等号右边是正号还是负号，可以通过先假设a是锐角，然后由等号左边的式子中的角的象限来判断。 “函数名不变”是指等号两边的三角函数同名； 即： 如：sin(π+a)，假设 a 是锐角，则π+a 是第三象限角，所以sin(π+a)=-sina 公式一~四可用下面的话来概括： 思考2：如果α为锐角，你能得到什么结论？ α a b c 11 的终边 α的终边 O x y 思考3：若α为一个任意给定的角，那么 的终边与角 的终边有什么关系？ 12 思考4：点P1（x，y）关于直线y=x对称的点P2的坐标是什么？ P1(x，y) O x y 的终边 P2(y，x) 诱导公式五： 13 思考6： 与 有什么内在联系？ 诱导公式六： 14 的正弦（余弦）函数值，分别等于 的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名称变，符号看象限”. 诱导公式可统一为 的三角函数与α的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？ 奇变偶不变，符号看象限. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指 中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号. 15 诱导公式的推广与规律 －cos α －sin α －cos α sin α 16 三、题型探究 利用诱导公式求值 [例1] 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°; 探究点一 (4)cos(－1 920°). 解　（1）cos 210°＝cos(180°＋30°) 17 (4)cos(－1 920°). 解　cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60° 反思感悟 利用诱导