2023年中考九年级数学高频考点 专题训练-相似三角形及其应用

2023年中考九年级数学高频考点 专题训练-相似三角形及其应用 一、综合题 1．在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到，其中点A，B的对应点分别为点，． （1）如图1，当落在CA的延长线上时， ①连接，求线段的长． ②求从初始状态到此位置时，线段AB扫过的面积． （2）如图2，连接，，所在直线与所在直线交于点M，所在直线与交于点N，当0°＜α≤180°时，是否存在α使得＝2MN，若存在，请求出α；若不存在，请说明理由． （3）如图3，所在直线与所在直线交于点M，K为边AB的中点，连接MK，请直接写出在旋转过程中，MK长度的取值范围． 2．如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线一动点，连AC，BD，连AE交DC于F，交BD于G． （1）若AC＝EC时，求∠DAE的大小； （2）求证：AG2＝GF•GE； （3）连DE，求的最小值． 3．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、点E分别在边AC、BC上，且DE∥AB.现将△CDE绕点C逆时针旋转某一角度，点D恰落在边AB上，连接BE. （1）当AC=BC时，如图2， ①线段AD与BE的数量关系是　 　； ②线段AD、BD、DE的数量关系是　 　. （2）当AC=nBC时（n＞0），如图3， ①判断线段AD与BE的数量关系，并予以证明；　 　 ②直接写出线段AD、BD、DE的数量关系　 　. 4．如图，在 中， ，过A作 于点D，点E为直线 上一动点，把线段 绕点E顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 、 ，直线 与 相交于点G. （1）（发现）如图1，当 时，填空： ① 的值为　 　； ② 的度数为　 　； （2）（探究）如图2，当 时，请写出 的值及 的度数，并就图2的情形给出证明； （3）（应用）如图3，当 时，若 ，请直接写出 的面积. 5．如图1，已知 中， ， ，点D、E在边 上， ，过点A作 的垂线交 的延长线于点M，连结 . （1）求证： ； （2）当 ， 时，求 的长； （3）如图2，过点M作射线 的垂线，垂足为点F，设 ， ，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 6．如图，函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n． （1）求m，n的值以及函数的解析式； （2）设抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA； （3）对于（1）中所求的函数y＝﹣x2＋bx＋c，连接AD交BC于E，在对称轴上是否存在一点F，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，使点F恰好落在抛物线上？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 7．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” （1）概念理解： 请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子； （2）问题探究； 如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由； （3）应用拓展； 如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积． 8．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D． （1）求证：△DAC∽△DBA； （2）过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求证：CE＝ AD； （3）若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD＝6，AB＝3，求CG的长． 9．在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点． （1）当⊙O的半径为1时， ①在点A(4，0)，B(0， )，C(1， )中，⊙O的伴随点是 ▲ ； ②点D在直线y＝x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围； （2）⊙M的