27.1.3圆周角课件2022-2023学年华东师大版九年级数学下册

1.3 圆周角 第27章 圆 1. 圆周角定理 A 问题导入: 问题1 什么叫圆心角?指出图中的圆心角? (1)顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC. 问题2 如图,∠BAC的顶点和边有哪些特点? (2)∠BAC的顶点在☉O上, 角的两边分别交☉O于B、C 两点. 圆周角的定义 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判一判:下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. (2) (1) (3) (5) (6) 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ √ √ 如图:线段AB是☉O的直径,点C是 ☉O上的任意一点(除点A、B外),则∠ACB就是直径AB所对的圆周角,那么∠ACB会是怎样的角? · O A C B 解:∵OA=OB=OC,∴△AOC、△BOC都是等腰三角形. ∴ ∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB. ∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180° ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°. 圆周角和直径的关系: 半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90° 圆周角和直径的关系: 圆周角定理 如图,连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系. 问题1 如图,OB,OC都是⊙O的半径,点A ,D 是上任意两点,连接AB,AC,BD,CD.∠BAC与∠BDC相等吗?请说明理由. D 探究新知: ∴∠BAC=∠BDC 相等 A1 A2 圆周角定理: A3 在同圆或等圆中,同弧或 等弧所对的圆周角相等, 都等于该弧所对的圆心角 的一半; 相等的圆周角所对的弧也 相等. 1.如图, <m></m> 内接于 <m></m> , <m></m> ,连接 <m></m> ,则 <m></m> ( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> B 知识应用: 10 2.如图:△ABC 内接于 ,AD是的直径,若∠B=30° ,则∠CAD 的度数是( ) A.60° B.65° C.70° D.75° A 3.如图,点A,B,C在⊙O上,若∠OAB=54° 则∠C的度数为( ) A.54° B.27° C.36° D.46° C 4.如图,以原点O为圆心的圆交x轴于点A,B两点, 交y轴的正半轴于点C,D为第一象限内⊙O上的一点,若∠DAB=25°,则∠OCD的度数是( ) A.45° B.60° C.65° D.70° D 5.如图:AB是的直径,C为圆内一点,则下列说法中正确的是( ) A.AC 是的弦 B.∠BOC是圆心角 C.∠C是圆周角 D. AC+BC<AB B 6.如图:已知⊙? 的两条弦AC、BE相交于点E,∠BAC=70° ∠ACD=50° ,连接OE,若E为AC中点,那么sin∠OEB 的值为_. 7.如图:已知圆周角∠ACB=130°,则圆心角 ∠AOB=_. 100° 8.如图:已知△ABC是⊙O的内接三角形,AD是⊙O的直径,连结BD,BC平分∠ABD. (1)求证:∠CAD=∠ABC; (1)证明: ∵BC平分∠ABD, ∴∠DBC=∠ABC, ∵∠CAD=∠DBC, ∴∠CAD=∠ABC; (2)若AD=6,求CD的长 (2)解: ∵∠CAD=∠ABC, ∴CD =AC , ∵AD是⊙O的直径,且AD=6, ∴ CD的长= ×π×6= π. 9.如图:AB为⊙? 的直径,C是⊙? 上的一点,连接AC,BC. D是BC的中点,过D作DE⊥AB于点E ,交 BC于 点F . ∵ AB是直径,AB⊥DE , ∴点B是DG的中点,DE=EG ∵ D是BC的中点, ∴CD=BD=BG, ∴BC=DG , ∴ BC=DG=2DE. (1)证明:延长DE交⊙? 于点 G. (1)求证:BC=2DE; (2)若AC=6 ,AB=10,求DF的长. 解:连接OD 、 BD。 ∵CD=BG. ∴ ∠DBC=∠BDG ∴ DF=BF 在Rt△ABC中, 由(1)知BC=2DE ,则 DE=4, ∵AB=10 , ∴OD=5, 在Rt△ODE中, ∴BE=2 , 设DF=BF=x , 在Rt△BEF中, ∵ , ∴ , 解得: 即DF长度为 。 10.如图,锐角三角形ABC内接于⊙O ,D是弧BC上一点,连接AD交BC于点E,∠ADC=∠OBD. (1)求证:AD⊥BC (1)证明:如图所示,连接OD. OD=OB,∠ODB=∠OBD , 又 (2)若CD=4 ,BC=8 ,求 ⊙O的半径. 解:延长 BO交⊙O于点 F, 连接FC 、FA. ∴AF=DC ∴ ⊙O的半径为 $