27.2.3 相似三角形的应用举例（1） 教案2022—2023学年人教版数学九年级下册

27.2.3相似三角形应用举例（1） 教学目标 1． 进一步巩固相似三角形的知识． 2． 能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题． 3． 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．  教学重点 运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度． 教学难点 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 教学过程设计 创设情境，新课引入 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学. 这是对数学与生活的精彩描述. 设计意图：通过数学家华罗庚先生的话，让学生感受世间万物皆数学，激发学生的学习兴趣，激励学生爱学术，学数学，用数学. 复习回顾 1. 相似三角形的判定方法： (1) 定义法 (2) 平行法 (3) 判定定理1：三边成比例的两个三角形相似. (4) 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (5) 判定定理3：两角分别相等的两个三角形相似. (6) 判定定理4：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似. 2. 相似三角形的性质： ★利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度（高度，宽度）的 问题. 设计意图：复习相似三角形的判定方法和性质，为应做知识铺垫. 新课讲授，探索新知 金字塔被喻为“世界古代七大奇观之一”. 塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形. 据考证，为建成大金字塔，共动用了 10 万人花了 20 年时间. 有一位伟大的古希腊数学家、天文学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”. 这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的. 你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ 给你一条2米高的木杆,一把皮尺.你能利用所学知识来测出塔高吗? 借太阳的光辉助我们解题,你想到了吗?泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.(如下图) 例1 如图，如果木杆长EF =2 m，它的影长FD=3 m，测得OA= 201 m，求金字塔的高度BO． 解：太阳光是平行光线，故∠BAO＝∠EDF， 又∠AOB＝∠DFE＝90° ∴ △ABO ∽△DEF． 因此金字塔的高为 134 m．因此金字塔的高为 134 m． 解决过程中要建立数学模型: 重点提示：图中找相似，相似得比例，比例来计算，计算求线段（高度，宽度等）. 设计意图：以具体的例子，引导学生发现构建数学模型，让学生更加深刻的理解相似三角形在实际问题中的应用.在教师的启发引导下，经历猜想探究、尝试实验、归纳总结等过程得到正确的结论，教给学生学习数学、探究数学的方法，使学生知道怎样学习数学，学会学习. 思考：怎样测量旗杆的高度? 测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决 ： 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 练习 1. 在某一时刻，测得一根高为 1.8 m 的竹竿的影长为 3 m，同时测得一栋高楼的影长为 90 m，这栋高楼的高度是多少？ 解：设这栋楼的高度为 x 米. 答：高楼的高度为 54 米. 设计意图：通过练习，让学生自己经历构建数学模型，运用相似三角形解决实际问题中过程.把所学知识内化.. 例2 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q 和 S，使P、Q、S共线且直线PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线b的交点R . 如果测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度 PQ . 已知： ST⊥PS，QR⊥PS，QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m. 求 PQ . ∵∠PQR＝∠PST ＝ 90°,∠P＝∠P， ∴ △PQR ∽△PST， 答： 河的宽度为90 m. 练习2. 如图，为了估算河的宽度，测得 BD = 120 m，DC = 60 m，EC = 50 m，求河宽 AB . △ABD∽△ECD 设计意图：以不同的例子，让学生在丰富的实际问题情境中加深相似三角形在实际问题的运用的理解. 小结： 本节课我们学习了利用相似三角形来测量 高度和宽度的方法. 1. 在实际生活中, 我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时. 可以把它们转化为数学问题