2023年九年级中考数学专项训练——二次函数-动态几何问题

2023年中考数学专项训练——二次函数-动态几何问题 一、综合题 1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2x﹣3a（a≠0）交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． （1）求此抛物线的解析式及A、B两点坐标； （2）若抛物线交y轴于点C，顶点为D，求四边形ABCD的面积． 2．如图，二次函数y=x2+bx+c（c≠0）的图象经过点A（-2，m）（m＜0），与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），AB//x轴，且AB：OB=2：3. （1）求m的值； （2）求二次函数的解析式； （3）在线段BC上是否存在点P，使ΔPOC为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 3．如图所示，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A，C分别在x，y轴的正半轴上，已知点B（4，2），将矩形OABC翻折，使得点C的对应点P恰好落在线段OA（包括端点O，A）上，折痕所在直线分别交BC、OA于点D、E；若点P在线段OA上运动时，过点P作OA的垂线交折痕所在直线于点Q． （1）求证：CQ=QP （2）设点Q的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； （3）如图2，连结OQ，OB，当点P在线段OA上运动时，设三角形OBQ的面积为S，当x取何值时，S取得最小值，并求出最小值； 4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段DC的长； （2）当点Q与点C重合时，求t的值； （3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值． 5．如图，已知点A（0，4）和点B（3，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上． （1）求m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为D，点B的对应点为C，若四边形ABCD为菱形，求平移后抛物线的表达式； （3）记平移后抛物线的对称轴与直线AC的交点为点E，x轴上的点F，使得以点C、E、F为顶点的三角形与△ABE相似，请求出F点坐标． 6．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y= x+ 的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由． 7．△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，矩形DEFG中，EF＝4，FG＞12． （1）如图①，点A是FG的中点，FG∥BC，将矩形DEFG向下平移，直到DE与BC重合为止．要研究矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积，就要进行分类讨论，你认为如何进行分类，写出你的分类方法（无需求重叠部分的面积）． （2）如图②，点B与F重合，E、B、C在同一直线上，将矩形DEFG向右平移，直到点E与C重合为止．设矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为y，平移的距离为x． ① 求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ② 在给定的平面直角坐标系中画出y与x的大致图象，并在图象上标注出关键点坐标． 8．如图，已知抛物线L1：y= x2－x－ ，L1交x轴于A，B（点A在点B左边），交y轴于C，其顶点为D，P是L1上一个动点，过P沿y轴正方向作线段PQ∥y轴，使PQ=t，当P点在L1上运动时，Q随之运动形成的图形记为L2. （1）若t=3，求图形L2的函数解析式； （2）过B作直线l∥y轴，若直线l和y轴及L1，L2所围成的图形面积为12，求t的值. 9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C，已知A(﹣1，0)，B(5，0)，C(0，5) （1）求抛物线与直线BC的表达式； （2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M(m，0)是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围. 10．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴相交于点 ． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）找出图中与 相等的一个角，并证明； （3）若点P是第二象限内抛物线上