2023年九年级中考数学复习动点专题：水平宽，铅垂高

割补法求面积---水平宽铅垂高 结构解剖： 解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下： 如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式． 如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法． 图1 图2 图3 计算面积长用到的策略还有： 如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图5，同底三角形的面积比等于高的比． 如图6，同高三角形的面积比等于底的比． 补充：两三角形（多边形）相似，面积比等于相似比平方 图4 图5 图6 如图,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S=ah 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 例题讲解： 例1：如图，二次函数象与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则△ADC的面积的最大值是 。 思考：△ADC的三边没有水平或者竖直的，所以考虑割补法求面积 （1）方法1：可以是过点D向直线AC作一条垂直于x轴的铅垂高将面积分成两部分 （2）方法2：可以连接OD，S△ADC=S△oDC+S△oAD－S△AoC （3）方法3：可以过点D向x轴作高，用三角形面积加梯形面积减三角形面积的方法割补，技巧：面积计算过程中保留n化简最后再用m表示n 补充：因为求的是△ADC的面积的最大值，若将AC看作底，则点D至直线AC距离最大时面积最大，所以考虑将直线AC沿着平行于AC的方向向上平移，直至与抛物线有且只有一个交点时，高最大，利用平行K相等，设一次函数解析式与二次函数联立令“b2-4ac=0”从而求出平移后的一次函数解析式，再联立求交点，再求面积，但明显的这种方法计算很复杂，过程也比较绕，所以不建议使用。 结论性补充：当动点D取在AC中点处时，S△ADC最大，其余此类题型都是此结论，方法含参代数式配方的结果，当然这个结论只能用来验证，不可作为过程书写。 例2：如图，已知二次函数的图象交轴于A,B两点（A在B左边），交轴于C点，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），求P点到直线AC距离的最大值 ． 点拨：这题求的不是面积的最大值，但是当P点到直线AC距离的最大时，对应的S△ACP也是最大的，所以等价于求面积的最大值。 例3：如图①，一次函数y=x﹣2的图像交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y=x2+bx+c的图像经过A、B两点，与x轴交于另一点C． （1）求二次函数的关系式及点C的坐标； （2）如图②，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PD∥x轴交AB于点D，PE∥y轴交AB于点E，求PD+PE的最大值； 点拨：这题PE仍看作“铅垂高”，题目中要求PD+PE的最大值，会发现PE与PD的比值是固定的（考虑拓展的K的几何含义），所以最终还是求的“铅垂高”最大值，即PE的最大值。 例4：如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值并求出对应的点M′的坐标； 点拨：如果这题仍然作铅垂高，会发现交点在BA的延长线上，但其实水平宽与铅垂高还是一样的，当然这题也可以一样采取连接OM的方法 例5：如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且． （1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）. （2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式； （第28题） （备用图） 点拨：这题从结构上来看，还是水平宽铅锤高的类型，但是和之前做的几题不一样的地方在于这题知道最大面积反过来求函数解析式，但是方法还是一样，利用铅锤高割补，设点坐标表示图形面积，配方求最值 巩固训练： 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）． （1）求该二次函数的表达式及点C的坐标； （2