第一章 三角形的证明——等腰三角形与直角三角形 讲义 2022—2023学年北师大版数学八年级下册

第1讲 等腰三角形与直角三角形 考点一：等腰三角形的性质及判定 等腰三角形概念 等腰三角形性质 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． ①等腰三角形的两腰及两底角相等（等边对等角） ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】①若BD=CD，AD为中线 　． ②AD⊥BC， 则AD为高　 　． ③若AD平分∠BAC，AD为角平分线 ． ④ AB=AC （知二推二） 等腰三角形的判定 判定一：等边对等角 判定二：三线合一 ∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC ∴△ABC 为等腰三角形 ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB=∠ADC ∵D为BC中点，∴BD=CD 在△ABD≌△ACD ∴△ABD≌△ACD ∴AB=AC ∴ △ABC 为等腰三角形 例1、△ABC为等腰三角形 （1）如果∠A=70°，那么∠C=　 　，∠B=　 　； （2）如果∠A=90°，那么∠B=　 　，∠C=　 　； （3）如果有一个角等于120°，那么其余两个角分别是　 　； 例2、如图，在△ABC中，D为AB边上一点．BD=BC，AD=DC，∠B=36°．求∠ACB的度数． 例3、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=45°时，求∠DEF的度数． 例4、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE.B E C D A （1） 求∠ECD的度数； （2） 若CE=5，求BC的长. 考点二：等边三角形的性质 定义 性质 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ① 三个内角都相等，且都等于60°． ② 三边相等 ③ 轴对称图形，它有三条对称轴 等边三角形的判定 定义判定 判定定理 三条边都相等的三角形是等边三角形 （1）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 含30度的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半 例1、 如图，已知△ABC是等边三角形，AB=5cm，AD⊥BC，DE⊥AB， DF⊥AC，则∠BAD=　 　，∠ADF=　 　，BD=　 　，∠EDF=　 　． 例2、如图，已知等边△ABC，AC=AD，且AC⊥AD，垂足为点A，则∠BEC的度数为　 　． 例3、已知：如图，△ABC中，BC⊥AC,DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB的长。 例4、如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1 厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒时．解答下列问题： （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是　 　秒； （2）在P、Q两点运动过程中，当t取何值时，△APQ也是等边三角形？并请说明理由； （3）当0＜t＜2时，∠APQ始终是直角，请画出示意图并说明理由 考点三：直角三角形的性质定理 1、直角三角形的两个锐角互余。（计算角的度数） 2、勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。（求线段的长度） 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 3、 在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（计算线段的长度和证明线段的倍半关系） 4、定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 互逆命题、互逆定理 1、互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。 2、互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 例1、已知∠ACB=∠BDA=Rt∠，若要使△ACB ≌△BDA，还需要什么条件？ 把它们分别写出来(有几种不同的方法就写几种)． 例2、判断： （1）直角三角形两边分别是3，4，则第三边为5.（ ） （2）每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理.（ ） （3）命题正确时其逆命题也正确.（ ） （4）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） （5）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） （3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） （4）两直角边对应相等的两个直角三角形全