第23课时 正方形性质与判定的综合运用(核心考点易错点及拔尖角度)-2022-2023学年八年级数学下册课时作业同步练习提优训练（人教版）

第23课时 正方形性质与判定的综合运用（原卷版） 名师点金：正方形既是菱形，又是矩形，它具有菱形、矩形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是菱形又是矩形即可. 第一部分 典例剖析 训练角度1　利用正方形的性质证明线段位置关系 典例1（2020春•双台子区期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M． （1）求证：AE＝DF； （2）求证：AM⊥DF． 训练角度2　利用正方形的性质解决线段和差倍分问题 典例2（2021秋•番禺区校级期中）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN． （1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明； （2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明； （3）若正方形的边长为4，当N运动到DC边的中点处时，求BM的长． 训练角度3　利用正方形的判定和性质探究正方形的条件 典例3（2021春•准格尔旗期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D在AB中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由； （3）若D为AB中点，则当∠A＝　 　时，四边形BECD是正方形？ 训练角度4　正方形的性质与判定的综合运用 典例4 如图，P、Q、R、S四个小球分别从正方形的四个顶点A、B、C、D出发，以同样的速度分别沿AB、BC、CD、DA的方向滚动，其终点分别是B、C、D、A． （1）不管滚动时间多长，求证：连接四个小球所得到的四边形PQRS总是正方形． （2）这个四边形在什么时候面积最大？ （3）在什么时候这个四边形的面积为原正方形面积的一半，请说明理由． 第2部分 配套练习 一．试题（共4小题） 1．（2020春•漳州期末）如图，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC交CD于点E，延长BC到F，使CF＝CE，连接DF交BE的延长线于点G． （1）求∠BGF的度数； （2）求证：DECE． 2．（2022春•荷塘区期末）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′． 【问题解决】： （1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长； （2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交B′E′于点F， ①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长； （3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围． 3．（2022秋•东港市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，过点B作BE∥CD，CE，BE交于点E． （1）判断四边形CDBE是什么特殊的四边形，并证明； （2）直接写出当△ABC再满足什么条件时，四边形CDBE是正方形． 4．（2022秋•南关区校级期末）如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方．在△ABC中，∠C＝90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”． （1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°中，若BC＝4，AB＝5，则AC＝　 　； （2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2； （3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE． ①求证：△ABG≌△EBC． ②当BC＝3，AB＝4时，则GE2的值是 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23课时 正方形性质与判定的综合运用（解析版） 名师点金：正方形既是菱形，又是矩形，它具有菱形、矩形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是菱形又是矩形即可. 第一部分 典例剖析 训练角度1　利用正方形的性质证明线段位置关系 典例1（2020春•双台子区期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M． （1）求证：AE＝DF； （2）求证：