13.4课题学习 最短路径问题（第1课时） 讲义 2022—2023学年人教版八年级数学上册

( 初中数学 教学案 )13.4课题学习 最短路径问题（第1课时） 人教版八年级数学上册第13章 第 课时 年 月 日 星期 单位： 备课人： 陈润润 教学目标 1.知识与技能：能熟练作出点关于直线的对称点. 进一步理解轴对称性质：对应点所连线段被对称轴垂直平分，对应线段相等.探索并掌握轴对称应用中的最短路线问题的解法，理解其依据. 2.过程与方法：经历观察、实验、猜想等数学活动.渗透类比，转化，数形结合等重要的数学思想方法.发展合情推理能力和演绎推理能力. 3.情感态度与价值观：能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲；获得成功的体验，锻炼克服困难的意志；认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满着乐趣、机遇与挑战. 重点：例一．探究轴对称在最短路线问题中的应用方法，并正确解决生活中最短路线问题. 难点：例一的证明和例二.理解解题需要有理有据. 教学方法：运用“观察—测量---观看演示实验—猜想—证明”模式.类比，迁移，转化.启发式，练习法.自主学习，合作探究. 教学用具：多媒体，课件，三角板，圆规. 课型：新授课 学 案 教师活动 （含学法指导） 学生活动 设计意图 活动一：温故知新： 1.轴对称性质：对应角______;对应线段______;对应点连成的线段被对称轴_______. 2.轴对称变换特点：轴对称变换不改变图形的________和_______，只改变图形的________. 活动二：探究新知 环节一：情境引入：观看“全民节约 共同行动”公益广告视频.节约是一种美德，全民节约，从我做起.请你帮忙解决一个有关节约的问题. 环节二：例一：某开发区新建了两片住宅区:A区、B区.现在要在煤气主管道的上修建一个接口,同时向这两个小区供气. 问：（1）如图1，接口建在何处,才能使得所用管道最短?（画图写作法）. （2）如图1，接口建在何处,才能使得接口到A区的距离最小.（画图写作法）. （3）如图2，接口建在何处,才能使得所用管道最短? ( B ． ) ( A ． B ． 图 1 l ) ( A ． 图 2 l ) 先在学案上完成前两个问题. 第（3）问探究： 1.在直线L上任意选4个点，量量每个点到点A和B的距离之和分别是多少（厘米），完成下表. 选的点         距离之和         2.发现什么规律？ 3.教师演示几何画板文件：探究最短路线. 4.猜想此题的作法.画图写出作法. 5.证明你的猜想. 证明：在直线L上任取一点D， 连接A D ，BD ，A ′D ∵点A与A′关于l对称， ∴直线l__________ 线段AA′ ∴ AC=_____，AD=______ ∴ AC+BC= _____+BC= A′B, AD+BD= _____+BD 又∵A′D+BD﹥ A′B( ) ∴AC+BC最小. 思考：还有其它方法证明AC=A′C， AD=A′D吗？ 环节三:解题后总结与反思： 1.作点A关于直线l的对称点的作用是什么？ 2.本题有不同作法吗？符合要求的点唯一吗？ 3.本题运用了哪些数学思想方法？ 活动三：巩固练习： 1.如图，直线L是一条河，P、Q是两个村庄，欲在L上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）. 2.如图在街道的一侧有A、B两所学校，现要在街道上修建一个图书馆，问图书馆修在何处才能使从A,B到它的距离之和最短?画图写出作法. ( A ． B ． n m ) 3.如图,某公路(可视为x轴)的同一侧有A,B,C三个村庄,要在公路边建一货栈,向A.,B,C三个村庄运送农用物资,路线是D---A---B---C---D或D---C---B---A---D.在公路边是否存在一点D,使送货路程之和最短?若存在,请画出点D的位置，写出点D的坐标,简要说明作法;若不存在，请说明你的理由. 4．如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB�的对称点，线段MN分别交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是__________cm. 你能根据此题改编一道新题吗？你知道新题的答案吗？ 活动四:拓展探究 环节一：例二：如图：Ａ为马厩，Ｂ为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷．请你帮他确定这一天的最短路线．（画图写作法） 环节二：解题后总结与反思：例一与例二的解法有什么相同之处，有什么不同之处？ 活动五：能力提升：河流中有一个三角形的小岛，岸与小岛有一桥相连.准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点.观测站,每天有专人步行去取样,