13.4课题学习 最短路径问题（第1课时） 课件 2022—2023学年人教版八年级数学上册

八年级数学上册 13.4课题学习 最短路径问题 （第1课时） 温故知新 1.轴对称性质：对应角______ 对应线段________ 对应点连成的线段被对称轴_________ 2.轴对称变换特点：轴对称变换不改变图形的_______和_______， 只改变图形的___________。 请填空： 相等 相等 垂直平分 形状 大小 位置 如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？ 两点之间线段最短 例一：某开发区新建了两片住宅区:A区、B区.现在要从煤气主管道的一个地方建立一个接口,同时向这两个小区供气.请问：（1）如图1，这个接口应建在哪,才能使得所用管道最短?（画图写作法和证明）（2）情形如图2呢？ l ·B · A 图 1 l · A ·B 图 2 探究新知 探究上面第3个问题 选的点 距离之和 · A · B l 1.在l上任选4个点，量量、算算每个点到点A和B的距离之和分别是多少（厘米），完成下表。 2.发现什么规律 3.演示试验探究.gsp 4.猜想此题的作法 5.证明你的猜想。 · B · A l ·A′ · C 作法： 作点A关于直线l的对称点A′， 连接A′B，交l于C点。 AC+BC最小，点C就是所求。 第2问参考答案 ·B · A l ·A′ · C ·D 图3 第2问参考答案 证明：在直线l上任取一点D， 连接AD ，BD ，A′D。 ∵点A与A′关于l对称， ∴直线l______线段AA′ ∴ AC=_____，AD=______ ∴ AC+BC= _____+BC= A′B, AD+BD= _____+BD 又∵A′D+BD﹥ A′B( ) ∴ AC+BC最小。 · A 图3 另证明：在直线l上任取一点D， 连接A D ，BD ，A ′D ∵点A与A′关于l对称， 点C与点C关于L对称 ∴线段AC与A′C关于直线l对称， ∴ AC=A′C，同理AD=A′D ∴ AC+BC= A′C+BC= A′B, AD+BD= A′D+BD 又∵A′D+BD﹥ A′B， ∴ AC+BC最小。 ·B · A l ·A′ · C ·D 1.作对称点的作用是什么？ 2.本题有不同作法吗，符合要求的点唯一吗？ 3.本题运用了哪些数学思想方法？ 答:1.把点、线段“转移”到直线的另一侧, 使两条线段“接”成一条线段. 2.不同方法是作点B关于直线 l的对称点B′，连结AB′,交l于点 E．点C与点E重合. 3.转化、数形结合、变换思想。 ·B ·A l ·A′ （E） ·B′ · ·C 解题后总结反思 1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） 巩固练习 ．P ．Q ．P ．Q ．P ．Q ．P ．Q l l l l M M M M ∟ ∟ ∟ ∟ A. B. C. D. 　　2.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径． A B C P Q 山 河岸 大桥 　　基本思路： 　　由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到 一点R，使PR与QR 的和最 小”． A B C P Q 山 河岸 大桥 A B A′ 3.如图，EFGH是矩形的台球桌面，有两球分别位于A、B两点的位置，试问怎样撞击A球，才能使A球先碰撞台边EF反弹后再击中B球？ E F G H 解：1．作点A关于EF的对称点A′ 2．连结A′B交EF于点C则沿AC撞击黑球A，必沿CB反弹击中白球B。 C 4.如图在街道的一侧有A、B两所学校，现要在街道旁修建一个图书馆，问图书馆修在何处才能使从A、B到它的距离之和最短? （画出位置，写出作法） A． B． m n 5．如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB�的对称点，线段MN分别交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是_____cm. A O B P M N F E 5.如图,某公路(x