吉林省东北师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试题

2020级高三第二次模拟考试（数学）学科试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 设集合，集合，则 A. B. C. D. 2. 为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若与方向相反，则（ ） A. 54 B. 48 C. D. 4. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2023这2023个数中，能被7除余1且被9除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列的和为（ ） A. 30014 B. 30016 C. 33297 D. 33299 5. 一个圆锥侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的部分图象如图，轴，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 定义在R上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 时， C. D. 10. 已知数列，，，的前项的和为，前项的积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 直四棱柱中，底面为菱形，，，P为中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论正确是（ ） A. 若，且，则四面体的体积为定值 B. 若平面，则最小值为 C. 若的外心为，则为定值2 D. 若，则点的轨迹长度为 12. 已知函数，，其中且．若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有且只有一个零点 B. 当时，有两个零点 C. 当时，曲线与曲线有且只有两条公切线 D. 若为单调函数，则 三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．） 13. 若，则___________. 14. 如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______． 15. 已知函数，若实数、满足，则的最大值为______． 16. 在平面直角坐标系中，已知动圆的方程为，则圆心的轨迹方程为____________．若对于圆上的任意点，在圆：上均存在点，使得，则满足条件的圆心的轨迹长度为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 如图，四边形中，，，设. （1）若面积是面积的4倍，求； （2）若，求 18. 已知数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求的值． 19. 已知函数，其中． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 20. 如图，等腰梯形中，//，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）. （1）证明：； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值. 21. 已知圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为. (1)当切线的长度为时，求点的坐标. (2)若的外接圆为圆，试问：当点运动时，圆是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 22. 已知函数，其中． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）已知在区间上存在唯一的极小值点． （ⅰ）求实数取值范围； （ⅱ）记在区间上的极小值为，讨论函数的单调性． 2020级高三第二次模拟考试（数学）学科试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AB 【12题答案】 【答案】BC