上海市第二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题

上海市第二中学2022学年第一学期高三年级数学期中 2022.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题标题4分，第7~12题每题5分） 1．已知集合，，，则__________． 2．若关于x的不等式的解集是，则__________． 3．已知，则的值为__________． 4．记为等差数列的前n项和，若，，则__________． 5．平行四边形ABCD中，，，，则平行四边形较长的对角线长度为__________． 6．“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且，则扇形OAD的面积是__________． 7．余弦函数在处的导数是__________． 8．表示不超过实数x的最大整数，则不等式的解集为__________． 9．函数，的最大值为3，则a的取值范围为__________． 10．已知三次函数无极值，且满，则 __________． 11．已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、…、…，则 __________． 12．设函数，当函数的零点个数达到最大值时，实数k的取值范围为__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13．已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A． B． C． D． 14．“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 15．集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16．若函数的定义域与区间交集由n个开区间组成，则n的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为6dm的正方形纸板，如图所示，先在正方形的相邻两个角各切去一个边长为xdm的正方形，然后在余下两角处各切去一个长、宽分别为3dm、xdm的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒． （1）求包装盒的容积关于x的函数表达式，并求出函数的定义域； （2）当x为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？ 18．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 已知函数的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若，，求的取值范围． 19．（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分） 已知数列满足，． （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和． 20．（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分） 已知，． （1）在定义域上是严格增函数，求实数a的取值范围； （2）当时，求函数的值域； （3）已知常数，不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围． 21．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质A”． ①；②存在实数A，使得对任意正整数n，有成立． （1）设，，试判断，是否具有“性质A”； （2）设递增的等比数列的前n项和为，若，，证明：数列具有“性质A”，并求出A的取值范围； （3）设数列的通项公式，若数列具有“性质A”，其满足条件的A的最大值，求t的值． 参考答案 一、填空题 1.； 2.-2； 3.； 4.25； 5.； 6.； 7.-1； 8.； 9.； 10.12； 11.2； 12.； 12.设函数，当函数的零点个数达到最大值时，实数k的取值范围为__________． 【答案】 【解析】设,则时,,设, 则,函数的图像如图所示,, ,当时,与 有4个交点,此时两者的交点最多,设交点横坐标为, 由图可知, 又,若,有一个解;若,有两个解, 当与有4个交点,且交点横坐标均大于时,函数的零点最多,,即,实数的取值范围为, 故答案为:. 二、选择题 13.D； 14.A； 15.A； 16.C 16.若函数的定义域与区间交集由n个开区间组成，则n的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【解析】要使原函数有意义,则 当时,恒成立;即. 若,得,即取,得; 若,得,即取,得; 只需与在上同号,在上异号.若, 得,即,取,得.取,得; 若,得,即, 取,得;若,得,即, 取,得.取,得若, 得,即,取,得.取, 得.满足且在[0,1]内的区间为: ,共4个.的值为4. 故选:. 三、解答题 17.