1.*5 数学归纳法 课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

*§5 数学归纳法_选学 MS 北师大版(2019)高中数学 选择性必修第二册 第一章 第5节 含正整数的命题与数学归纳法 MS 含正整数的命题举例及证明引导 含正整数的命题举例: 1)等差数列的通项公式 ; 2)等比数列的前项和公式 ; 3). 4)能被整除. 思考:若对于以上命题,若: ①当(初始值)时,命题成立. ②“假定当时,命题成立.” 可推导出 “当时,命题成立.” 由此是否能判定对于取任意正整数时成立?为什么? 通过列举含正整数的命题,让学生认识怎样的命题能使用数学归纳法证明,这样的命题有怎样的特征_n有起始值,且通过递推关系来判定命题的正确性,引出数学归纳法 3 数学归纳法的一般步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法,它的基本步骤是: (1)证明:当取第一个值(是一个确定的正整数,如或)时,命题成立. (2)假设当时命题成立,证明当时,命题也成立. 依据(1)(2)便可断定命题对一切从开始的正整数都成立. 数学归纳法在命题证明中的一般步骤 问题1 用数学归纳法证明:首项为,公差为的等差数列的前项和公式为. 证明: (1)当时,左边,右边,等式成立. (2)假设当时,等式成立,即. 则当时,有 由此可知,当时,等式也成立. 综上可知,等式对任意正整数都成立. 学习数学归纳法的证明格式_分布解析(1)(2)成立 5 数学归纳法在命题证明中的一般步骤 变式1 用数学归纳法证明:. 证明:(1)当时,左边,右边,故当时,等式成立. (2)假设当 时,等式成立,即有:. 则,当时,有 故当时,等式成立. 综上可知, 对. 数学归纳法应用1: 数列通项公式的猜想与证明 MS 数列通项公式的猜想与证明 问题1 已知数列满足,试猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明. 求解简析: (1)根据数列的递归关系,列出该数列的前几项: (2)观察所得项的一般规律,猜想数列的通项公式: (3)使用数学归纳法证明猜想是否正确(若正确,则结束求解,不正确,则重新建立猜想,再重复该步骤): 由可得:. 猜想: 猜想证明: (1)当时,. (2)假设当时,成立.则 当时,. 即当时等式成立. 综上可知:对任意正整数都成立,即猜想正确. 数列通项公式的猜想与证明_变式与应用 变式1 观察运算: 猜想:的运算结果,并使用数学归纳法进行证明. 猜想: . 证明: (1)当时,左边,右边,此时猜想成立; (2)假设当时,命题成立,即.则: 当时, 故当时,猜想正确. 综上可知, . 数学归纳法应用2: 含命题的证明 MS 数学归纳法证明含命题 问题1 使用数学归纳法证明:. 证明: (1)当时,,,此时命题成立; (2)假设当时,命题成立,即.则: 当时, 因为,所以. . 又,所以, 即 . 综上可知,对任意的,都有. 数学归纳法证明含命题 变式1 用数学归纳法证明:能被整除(). 证明:(1)当时,有, 此时能被整除. (2)假设当时, 能被整除. 则当时,有 所以也能被整除. 综上可知, 能被整除(). 小结 数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法,它的基本步骤是: (1)证明:当取第一个值(是一个确定的正整数,如或)时,命题成立. (2)假设当时命题成立,证明当时,命题也成立. 依据(1)(2)便可断定命题对一切从开始的正整数都成立. 应用方向:(1)对于数列通项的猜想的正确性进行证明 (2)给定含命题的证明. $