17.1 勾股定理-2022-2023学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教版）

17.1勾股定理 考点一：勾股定理 　　直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 　技巧归纳： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 考点二：勾股定理的证明 一般是通过剪拼，借助面积进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。 图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角三角形斜边c为边长的小正方形。则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为ab·4+c2,所以(a+b)2=ab·4+c2，整理得a2+b2=c2 在图2的另一种拼法中，以c为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以ab·4+(b-a)2=c2，整理得a2+b2=c2. 考点三：勾股定理的应用 (1)勾股定理的应用条件 勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。 (2)勾股定理的实际应用 勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。 勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。 (3)利用勾股定理作长为 (n为大于1的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。由此，我们可借助勾股定理，作直角边为1的等腰直角三角形，它的斜边长等于；作直角边为，1的直角三角形，其斜边长为。类似地，可以作出长为 (n为大于1的整数)的线段。 题型一：用勾股定理解三角形 1．（2023·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）在中，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 2．（2023秋·山东菏泽·八年级校考期末）如图，在中，，D为上一点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型二：已知两点坐标求距离 3．（2022秋·河北保定·八年级校考期末）已知点是点关于y轴的对称点，则坐标原点O与点B之间的距离为（　　） A． B． C．3 D．2 4．（2023春·八年级课时练习）如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型三：勾股数问题 5．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）下列各组数中是勾股数的是（    ） A．1，，2 B．12，16，20 C．32，42，52 D．0.5，1.2，1.3 6．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）下列图各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型四：以直角三角形三边为边长的图形面积 7．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2023秋·山西长治·八年级统考期末）下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（    ） A． B． C． D． 题型五：勾股定理和网格问题 9．（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 10．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是（   ） A． B． C． D． 题型六：勾股定理和折叠问题 11．（2023秋·山西晋中·八年级统考期末）如图，中，，，，点D在上，且，将折叠，使A点与点D重合，折痕为，则线段的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（2022秋·八年级统考期中）如图，将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，是折痕，若，，则的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 题型七：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 13．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2