第03讲 复数-2022-2023学年高一数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

第3讲 高一数学学科素养能力竞赛专题训练——复数 【题型目录】 模块一：易错试题精选 模块二：培优试题精选 模块三：名校全国竞赛试题精选 【典型例题】 模块一：易错试题精选 1．在复数范围内，方程的解的个数是(    ) A．2 B．4 C．6 D．8 2．若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．已知复数，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 4．（多选题）已知复数，，则（    ） A． B．若，则的最大值为3 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 5．（多选题）已知复数，，则下列结论中一定正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（多选题）已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 7．已知，、，是虚数单位.若复数是实数，则的最小值为______. 8．已知，关于z的方程有四个复数根．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为________． 9．已知（i是虚数单位）是关于x的方程（m、）的一个复根，且复数z满足，则的范围为________． 10．若关于x的方程无实根，则实数p的取值范围是______． 11．在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，则的值为_________. 12．若为纯虚数，则复数的虚部为__________. 13．复数与在复平面上对应的向量分别为与，已知，，且，则复数______. 14．设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量. (1)已知，求； (2)设的向量分别为，已知，求的坐标(结果用表示)； (3)若对于满足的所有能取到的最小值为8，求实数的值. 15．对一般的实系数一元三次方程，由于总可以通过代换消去其二次项，就可以变为方程．在一些数学工具书中，我们可以找到方程的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J.Cardan）的名字命名的． 卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程可以变形为，把未知数x写成两数之和，再把等式的右边展开，就得到，即．将上式与相对照，得到，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，，并把与看成未知数，解得，于是，方程一个根可以写成． 阅读以上材料，求解方程． 模块二：培优试题精选 1．设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（    ） A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 B．可能方程有四个实数根的解 C．可能有两个实数根，两个纯虚数根 D．可能方程没有纯虚数根的解 2．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 3．已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤： 第一步，把方程中的用来替换，得到方程； 第二步，利用公式将因式分解； 第三步，求得，的一组值，得到方程的三个根：，，（其中，为虚数单位）； 第四步，写出方程的根：，，. 某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．设复数的实部和虚部都是整数，则（   ） A．的实部都能被2 整除 B．的实部都能被3 整除 C．的实部都能被4 整除 D．的实部都能被5 整除 6．（多选题）设是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，则（    ） A．最小值为 B．没有最小值 C．最大值为2 D．没有最大值 7．（多选题）设b、c均为实数，关于x的方程在复数集C上给出下列结论，正确的是（    ） A．存在b、c，使得该方程仅有2个共轭虚根 B．存在b、c，使得该方程有4个互不相等的实数根 C．存在b、c，使得该方程有5个互不相等的根 D．存在b、c，使得该方程最多有6个互不相等的根 8．已知集合（其中 为虚数单位），则满足条件的集合M的个数为___________. 9．在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________. 10．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______. 11．为求方程的虚根，可把原式变形为，由此可得原方程的一个虚根的实部为______________. 12．已知为复数，且，则的最大值为____________. 13．已知是关于的实系数一元二次方程. (1)若是方程的一个根，且，求实数的值； (2)若是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有的值. 14．在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体