《第六章 平面向量及其应用》章末复习与总结-2022-2023学年高一数学下学期复习总结题型探究+测试卷（人教A版2019必修第二册）

《第六章 平面向量及其应用》章末复习与总结 知识框架 题型探究 题型一：向量的线性运算 1．向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题． 2．通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养． 【例1】（2023·高一课时练习）已知G是的重心，则 等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（2022·高一课时练习）在中，已知是边上一点，若，则（    ） A．2 B．１ C．-2 D．－1 【变式训练1】（2022春·浙江金华·高一统考期中）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，，，，，是正五边形的五个顶点，且，若，则__________（用表示）. 【变式训练2】（2023·高一课时练习）在中，D为AC边的中点，E为AB上一点，交于一点F，且，若，，则实数的值为________． 题型二：向量的数量积运算 1．平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等． 2．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养． 【例3】（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）已知向量与的夹角为，，. (1)求； (2)求与的夹角. 【例4】（2022春·北京海淀·高一北京交通大学附属中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，，点是直线上的一个动点. (1)求的值； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)求的最小值. 【变式训练3】（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）若非零向量、满足，且，则向量、的夹角为（     ） A． B． C． D． 【变式训练4】（2023·高一课时练习）已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 题型三：余弦定理、正弦定理 1．主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用． 2．借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养． 【例5】（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）在中，分别为内角所对的边，且 (1)求的大小； (2)现给出三个条件：（1）；（2）；（3）.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择，并以此为依据求的面积（写出一种可行的方案即可） 【变式训练5】（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 题型四：余弦、正弦定理在实际问题中的应用 1．余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验． 2．将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养． 【例6】（2022秋·河北保定·高一保定一中校考期末）如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为． (1)求点B距水平面AE的高度BH； (2)求宣传牌CD的高度．（结果保留根号） 【变式训练6】（2023·高一课时练习）如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，． (1)求的长度； (2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？ 随堂训练 1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 2．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2022秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）中，角的对边分别为，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 5．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期末）圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”