专题2.6 二次函数的最值问题（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题2.6 二次函数的最值问题 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标； （2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值； （3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值． 【思路点拨】 （1）利用x求得a和b的关系，再将其代入原解析式即可； （2）分两种情况讨论，利用抛物线的对称性即可求解； （3）分类讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【解题过程】 解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得， y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4， ∵对称轴是直线x＝1． ∴1， ∴b＝﹣2a， ∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4， ∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）； （2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4， ∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5， ∴a＜0不合题意； ②a＞0时，抛物线开口向上， ∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离， ∴x＝﹣2时，y的值最大， ∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5， 将b＝﹣2a代入得，a＝1； （3）①t＜0时， ∵a＝1， ∴b＝﹣2a＝﹣2， ∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3， ∵m﹣n＝3， ∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1； ②t＜1时， ∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4， ∵m﹣n＝3， ∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）； ③0＜t时， y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4， m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±1（不成立）； ④t≥1时， ∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3， m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2； 综上，t的值为﹣1或2． 1．（2022•碑林区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c，当x≤0时，函数的最大值为1；当x＞0时，函数的最大值为2，则b+c的值为（　　） A．3 B．1 C．﹣3 D．﹣1或3 2．（2022•三元区模拟）已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（　　） A．16 B．15 C．9 D．7 3．（2022•来安县一模）已知抛物线y＝x2+bx+c过（1，m），（﹣1，3m）两点，若﹣4≤m≤2，且当﹣2≤x≤1时，y的最小值为﹣6，则m的值是（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4 4．（2021秋•江都区期末）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（　　） A．﹣2或6 B．2或6 C．或6 D．或﹣2 5．（2022春•鼓楼区校级月考）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝（x+m）2+m+1有最大值5，则m的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（2021秋•宁都县期末）如图，点E、F、G、H分别位于边长为3的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，正方形EFGH的面积最小时，AE的值是（　　） A．1 B． C．2 D． 7．（2022•涡阳县二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个顶点分别在菱形的四边上，AP＝AQ＝CM＝CN，则矩形PMNQ的最大面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 8．（2021秋•江岸区校级月考）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是（　　） A．4 B． C．3 D． 9．（2021•昆山市模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为 　 　． 10．（2021春•宜兴市月考）如图，矩形ABCD，AB＝3，AD＝4，▱EFGH的4个顶点都落在矩形边上，且有AE＝2AF，设▱EFGH的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，则的最大值为　 　． 11．（2022•南关区校级一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），当0≤x≤a时，y有最大值