专题2.1 二次函数的字母系数问题（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题2.1 二次函数的字母系数问题 【典例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，有下列结论：①c＞0；②9a+3b+c＞0；③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ，则a＝﹣1；其中，正确结论的个数是（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】 利用数形结合的方法解答，依据已知条件画出函数的大致图象，依据图象直接得出结论可判定①②③的正确；分别过点P，Q作坐标轴的平行线，则△PHQ为等腰直角三角形，设点P，Q的横坐标分别为m，n，则m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两根，利用韦达定理和待定系数法可得到用a的代数式表示PQ，利用PQ，列出方程，解方程即可求得a值，即可判定④的结论不正确． 【解题过程】 解：∵a＜0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下． ∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1， ∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）． 综上抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如下： 由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴（0，c）， ∴c＞0． ∴①的结论正确； 由图象可知：当﹣2＜x＜4时，函数值y＞0， ∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0． ∴②的结论正确． 作直线y＝﹣1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为x1，x2，如图， 则x1，x2是方程ax2+bx+c＝﹣1的两根， 即方程ax2+bx+c+1＝0的解为x1、x2， 由图象可知：满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4， ∴③的结论正确； 如图，分别过点P，Q作坐标轴的平行线，它们交于点H， 则△PHQ为等腰直角三角形， ∴PH＝HQ，PQHQ． ∴． ∴ax2+（b﹣1）x+c＝0． 设点P，Q的横坐标分别为m，n， ∴m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两根， ∴m+n，mn． ∴HQ＝|m﹣n|． ∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1， ∴． ∴． ∴HQ． ∵PQ， ∴•． 解得：a＝﹣1或． ∴④的结论不正确； 综上所述，正确结论有：①②③， 故选：B． 1．（2022春•永丰县期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，给出下列列结论：①a﹣b+c＜0；②2a+b＞0；③b＞a＞c；④3|a|+|c|＜2|b|．其中，正确结论的结论是（　　） A．①②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 2．（2022•东港区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5；④5a+c＜0，上述结论中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2022•南海区一模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点G坐标为（1，k），且与x轴的一个交点在点（2，0）和（3，0）之间（不含两端点）．则下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③3a+b＜0；4a﹣2b+c＞0；④一元二次方程ax2+bx+c＝k+1没有实数根．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2021秋•亭湖区期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点，点是函数图象上的两点，则y1＞y2；④；⑤c﹣3a＞0．其中正确结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2022•红桥区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0； ②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2022•孟村县二模）已知二次函数y＝（a﹣2）x2+2ax+a﹣3（a是常数）的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），x1≠x2，则下列说法正确的是（　　） ①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5）； ②若该函数图象开口向下，则a的取值范围为a＜2； ③若a＝3，当t≤x≤0时，y的最大值为零，最小值为﹣9，则t的取值范围是﹣6≤t≤﹣3． A．①对，②和③错 B．①和②对，③错 C．①