6.2.3向量的数乘运算（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

6.2.3向量的数乘运算 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：用已知向量表示相关向量 必会题型二：三点共线问题 必会题型三：利用向量的线性运算解决三角形中的问题 必会题型四：向量的数乘运算综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 向量的数乘运算 1．向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1)； (2)当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反． 当时，的方向是任意的； 当时，； 当时，，与互为相反向量． 【名师点睛】(1)在数乘向量中，实数称为向量的系数． (2)数乘向量的结果仍是一个向量．与是共线向量． (3)当或时，均有，反之亦成立．注意，此时的结果是，而不是实数0． (4)实数和向量可以进行数乘运算，但是不能进行加、减运算，如均无法运算． (5)当时，表示与同方向的单位向量． 2．向量的数乘的几何意义 数乘向量的几何意义：的几何意义就是把向量沿着的方向或的反方向放大或缩小．具体如下： 3．向量的作法 实数与向量的积的几何意义是作向量的方法． 如图6-2.3-1，已知非零向量，作向量． 作法如下：作向量时，将向量同向伸长为原来的2倍；作向量时，将向量反向 缩短为原来的． 必会知识二 向量数乘的运算律 根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的．设为实数，那么 (1)结合律； (2)第一分配律； (3)第二分配律． 特别地，我们有． 必会知识三 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量，以及任意实数，恒有． 必会知识四 向量共线定理 事实上，对于向量，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线． 反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有． 综上，有如下定理：向量与共线的充分必要条件是：存在唯一一个实数，使． 必会知识五 利用向量方法解决三点共线问题 (1)利用向量共线定理证明三点共线的一般步骤： (1)以三点中任意两个点为端点构造两个有共同端点的向量； (2)证明两个向量满足向量共线定理，即存在唯一实数，使或成立； (3)由两个向量有共同的端点得出结论：三点共线． (2)若向量的终点共线，则存在实数，且，使得，反之也成立． 【证明】如图6-2.3-2，若的终点共线，则，故存在实数，使得． 则存在，且，使得． 反之，若，其中成立，则． 于是有，即，三点共线， 即向量的终点在同一条直线上． 必会知识六 三角形的中线和重心的向量公式 (1)在中，若为的中点，则． 【证明】如图6-2.3-3，以为邻边构造平行四边形． 为的中点，为平行四边形对角线的交点， (2)在中，若为的重心，则． 【证明】如图6-2.3-4，延长至点，使， 显然四边形是平行四边形，则有． 为的重心，． 与的大小相等，方向相反， 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：用已知向量表示相关向量 1．（2023·高一课时练习）已知G是的重心，则 等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西西安·统考一模）在中，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·高三专题练习）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）已知平行四边形中，为边的中点，与相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022秋·河北保定·高二定兴中学校联考阶段练习）在四面体ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2022春·广东清远·高一校考阶段练习）如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在AD上，且，则（    ） A． B． C． D． 8．[多选]（2022春·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则点､､三点共线 C．若点是的重心，则 D．若且，则的面积是面积的 9．（2022·高一课前预习）如图所示，在中，，是上的