类型十 裂项相消分式讲义-2022-2023学年苏科版数学八年级下册分式类型突破提高

类型十、裂项相消分式 【解惑】 方法：裂项相消法由，，推理后面得过程抵消即可。 【融会贯通】 1．在八年级上册数学课本148页，探讨了，据此公式若有：，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D【详解】解：∵， ∴a=-3，b=-2，∴a+b=(-3)+(-2)=-5， 2．观察下列等式： 第1个等式：；         第2个等式：； 第3个等式：； ……， 按这样的规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】解：∵第1个等式：；        第2个等式：； 第3个等式：；……，可以看出：等式的左边是两个连续整数的倒数和与它们积的倒数的差，等式右边分母与左边较大整数相同，分子是2，按这样的规律，第n个等式为： 3．下列各式计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】解：A、，故A错误；B、，故B错误；C、，故C正确；D、，故D错误， 【知不足】 4．根据，计算：_______ 【答案】【详解】解： ． 5．已知==1-，==-， ==-，…，根据以上等式探究出规律，计算：+++…+=__________. 【答案】【详解】∵==1-，==-， ==-， ∴=故+++…+ =+++…+== 6．计算_________________. 【答案】【详解】其通项公式，∴其前n项和取n=5，则S. 7．已知abc＝1，则的值是_____． 【答案】1.【详解】解：由abc=1，则=把abc=1代入得， ====1. 8．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，． 类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么 （B+1）﹣（A+1）=_____． 【答案】 【详解】 ＝ = = ，∵ ，∴ 则 ，解得： ，所以（B+1）﹣（A+1）=3﹣2=， 9．若 ，对于任意正整数都成立，则 = _______ ， = _______ ；根据上面的式子，计算 =________ ． 【答案】     1     -1     ##0.9【详解】解： ，解得：； 10．式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里的符号“”是求和的符号，如“1+3+5+7+…+99”即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为．通过对以上材料的阅读，请计算：=_____（填写最后的计算结果）． 【答案】.【详解】试题解析：==1-=. 【一览众山小】 11．观察下面的变形规律，解答下列问题 ，，， (1)若n为正整数，猜想 ． (2)根据上面的结论计算：． 【答案】(1)(2)【详解】（1）根据题意得：； （2）解 ． 12．对于正数x，规定． 例如：，，． (1)求值：______；______ (2)猜想：______，并证明你的结论； (3)求的值． 【答案】(1)1，1(2)1，证明见解析(3)【详解】（1）解：由题意，得： ，，，，则；；（2）解：猜想：，理由如下：，则；（3）解：原式． 13．观察以下等式： 第个等式； 第个等式； 第个等式； 第个等式． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明你的结论． 【答案】(1)(2)，证明见解析【详解】（1）解：第个等式为：，（2）解：第个等式为：，证明：===． 14．观察下列等式： =1﹣， =， =⋯ 将以上三个等式两边分别相加得： =1﹣+﹣+﹣ =1﹣ =． (1)猜想并写出： =　　． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①+⋯+=　　； ②＋⋯+=　　； (3)探究并计算： ++⋯+． 【答案】(1)(2)①，②(3)（1）∵ =1﹣， =﹣， =，∴，（2）①+⋯+== = ②＋⋯+== = （3） ++⋯+= ==== 15．观察下列等式，用你发现的规律解答问题． ，，…… (1)计算：的值． (2)求的值（用含n的式子表示）． 【答案】(1)(2)（1）解：； （2）解：∵，，，…，∴， ∴． 16．探究规律： (1)填空：①_________ ②_________ ③_________ (2)根据（1）中的填空猜想_________（为整数），并说明理由； (3)受上述规律的启发，计算： 【答案】(1)    (2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：①② ③．（2）解：，理由如下：．（3）解